差分方程(以及差分方程系统)是用来刻画自然和社会系统按离散时间演化规律的数学工具。在过去的几十年中,有大量的差分方程和差分方程系统被提出并用来描述发生在不同领域的科学现象,如物理、化学、生物学、医学、经济学、生态学、工程学、军事科学、社会科学等等。作为非线性差分方程中看上去比较简单的一大类——有理差分方程,它不仅应用范围广,而且在理论上也非常重要。事实上,根据以往研究表明,有理差分方程可以展示许多复杂而迷人的动力学性质,比如平衡解、周期解和混沌等。本文研究了几类高阶非线性有理差分方程的动力学性质其中主要包括渐进稳定性、全局渐近性,一致性,有界性。这些内容按如下方式组织:第一章首先给出了差分方程的几个典型应用,然后概述了几类有理差分方程的研究现状以及本文的主要工作。第二章介绍了一些与本文相关的基本概念和符号。第三章研究了差分方程其中p, q, s, t > 0,且初始解x? max( s, t ) , x? max( s, t) +1 ,..., x?1∈(0, +∞)。主要结论如下: ( 1 )当p > q, or p≤q < 1 + 4p,方程的正平衡点是全局吸引的。( 2 )当q≥1 + 4p,存在一自然数N ,使得对于所有n≥N,有1≥xn≥p /q。第四章研究了差分方程其中p, q, s, t > 0,且初始解x? max( s, t ) +1 , x? max( s, t) + 2 ,..., x? 1 , x0∈(0, +∞)。主要结论如下: ( 1 )设{ xn }n+∞=? k是方程的正解,则对于所有n≥1,我们有min{1, p / q} < xn < max{1, p / q} ( 2 )如果下面两个条件中其中一条满足; ( a ) p > q≥1 or 1≥p > q or (1 + 3 q ) /(1 ? q )≥p > 1> q ( b ) q > p≥1 or 1≥q > p or (1 + 3 p ) /(1 ? p )≥q > 1> p则方程的正平衡点是全局吸引子。第五章研究了差分方程其中p, q, s, t > 0,且初始解x? max( s, t ) , x? max( s , t) +1 ,..., x?1∈(0, +∞)。主要结论如下: ( 1 )设M = max {p, q}, { xn }n+∞=? max( s , t)是方程的解,则有, M≥x n≥p /(1 + (1 + r ) M)其中n≥0。( 2 )若0 < p≤q,并且有下面三个条件中其中一个条件成立( a ) q≤1; ( b )0 < r≤1; ( c ) r > 1且( q ? 1) 2( r ? 1)≤4p则方程的正平衡点是全局吸引子。( 3 )若q < p < q + q 2r则有如下结论成立: ( a )存在常数N≥0,使得对于所有n≥N,有( p ? q ) / qr < x n< q ( b )若有下面三个条件中其中一个条件成立( b1 ) q≤1; ( b2 ) r≤1; ( b3 ) r > 1且( q ? 1) 2( r ? 1)≤4p则方程的正平衡点是全局吸引子。( 4 )若p≥q + q 2r,则方程的正平衡点是全局吸引子。第六章研究了差分方程其中p, q, s, t > 0,且初始解x? max( s, t ) , x? max( s , t) +1 ,..., x? 1∈(0, +∞)。主要结论有: ( 1 )若p < q + 1,则方程的正平衡点是全局吸引子。( 2 )若p = q + 1且s为奇数,则方程的正平衡点是全局吸引子。( 3 )若p > q + 1且对于每个v = 1, 2,…,s, t满足v = 3v/s,则方程有界。第七章研究了方程其中p≥1, r≥1, s≥1, A≥0,且初始解x1 ? max{ p , r } , x2 ? max{ p , r} ,..., x0> 0,y1 ? max{ q , s } , x2 ? max{ q , s} ,..., y0> 0。主要结论有: ( 1 )若A > 1,则方程所有正解是有界的。( 2 )若A > 2 / 3,则方程在点(c, c)处是局部渐近稳定的。( 3 )若A > 2,则方程的所有正解收敛到点(c, c)。第八章作了对全文内容的总结以及对下一步工作的展望。