丢番图方程是数论中最古老的一个分支,它研究的是多项式方程或方程组的整数解或有理数解.椭圆曲线是代数几何的基本研究对象,它是用来研究丢番图方程的一个强有力的工具.本文主要讨论了若干与椭圆曲线相关的丢番图方程.首先,我们研究了n元正整数数组（x1,...,xn）满足的两个丢番图方程组x₁+…+x_n=A,x₁…x_n=B和其中,n≥3,A,B是由数组（x1….,xn）确定的正整数.利用椭圆曲线的理论,证明了对每一个正整数k,存在无穷多的本原集合含k个n元正整数数组有相同的和与相同的积,以及存在无穷多的本原集合含k个n元正整数数组有相同的二阶初等对称函数值与相同的积.同时也介绍了M.Ulas的一些关于对称函数的丢番图方程组的结论.其次,我们考虑了连续整数的乘积与丢番图方程f（x）f（y）=f（z）,其中,f（X）是没有重根的次数大于1的有理系数多项式.利用Pell方程的理论,证明了当f（x）=x（x+b）,b≥3和X3-X时,方程f（x）f（y）=f（z）有无穷多非平凡的正整数解.利用椭圆曲线的理论,证明了当f（x）=X³-b²X,6≥1时,方程f（x）f（y）=f（z）有无穷多非平凡的正有理数解.我们给出了当f（X）=aX²+2bX+c,a,b,c∈Z时,方程F（x）f（y）=f（z）有无穷多整数解的条件.而当和时,方程f（x）f（y）=f（z）有一族有理参数解.同时,我们也总结了当f（X）取不同函数时关于方程f（x）f（y）=f（z）的一些结论以及A.Schinzel和U.Zannier对方程f₁（x₁）f₂（x₂）=f₃（x₃）的研究,其中f_i（x_i）,i=1,2,3是多项式函数.接着,我们研究了丢番图方程f（x）f（y）=f（z）²和f（x）f（y）=f（z²）其中,f（x）是没有重根的次数大于1的有理系数多项式.我们推广了关于方程f（x）f（y）=f（z）²的一些结论,解决了M.Ulas的一个问题.同时也证明了下面的结论：当f（X）=X²-（k²±2l）X+L²,K,l∈Z,k²（k²±4l）≠0时,如果Pell方程U²-（k²+1）V²=k²（k⁴±4k²l±4l）有一个解（U,V）满足U≡k³（mod2k）,V≡0（mod2k）,则方程f（x）f（y）=f（z²）有无穷多非平凡的整数解.当f（x）=X³-X时,也有相同的结论.当f（x）=x²+kX+l²,k,l∈Q,k≠±2l和时,方程f（x）f（y）=f（z²）有一族有理参数解.当f（x）=X（X²+X+k）和X（X²+kX+1）时,存在无穷多的k∈Q使得方程f（x）f（y）=f（z²）至少有一个有理数解.最后,我们给出了一些未解决的问题.