声波传输特征值问题和逆散射中Steklov特征值问题在逆散射理论中扮演着重要的角色.声波传输特征值问题出现在非均匀介质的逆散射理论中,具有重要的物理背景和广泛的应用.由于传输特征值能够由远场数据所确定,因此它可以被用来估计散射物质材料的性质.Steklov特征值问题在特征值问题的研究中占有重要地位.近年来,在逆散射理论中出现了一种非自共轭的Steklov特征值问题,吸引了很多学者的关注.这两类问题都是非自共轭和非正定的,它们不能用通常的椭圆特征值问题的基本理论来研究,这对理论分析与数值计算都带来了很大困难.本文主要研究逆散射中特征值问题的高效谱方法,其主要内容分为以下五章:第一章,介绍了研究问题的背景和意义,总结了前人在该问题中所做的工作,并给出了论文的研究内容和结构.第二章,介绍了一些预备知识,主要包括文中常用的符号,Jacobi多项式的基本性质,带权的Sobolev空间及其一些投影算子的逼近性质.第三章,针对声波传输特征值问题,我们提出了一种基于降维格式的有效的谱Galerkin逼近.首先,我们将原问题转化为一个等价的四阶非线性特征值问题.然后,通过引入辅助的泊松方程,将四阶非线性特征值问题转化为耦合的四阶线性特征系统.其次,基于极坐标变换,进一步将耦合的四阶线性特征系统化为一系列等价的一维特征系统.再次,推导了本质极条件,并根据极条件引入了适当的带权Sobolev空间,建立了弱形式及相应的离散格式.另外,利用紧算子的谱理论,我们证明了每个一维特征系统中逼近特征值和特征向量的误差估计.最后,我们呈现了大量的数值例子,数值结果表明了算法的有效性和理论结果的正确性.第四章,提出了逆散射中Steklov特征值问题的一种谱方法.首先,通过引入适当的Sobolev空间和相应的逼近空间,建立了弱形式和相应的离散格式.其次,根据Fredholm理论,导出了弱形式和离散格式相应的算子形式.然后,利用全连续算子的谱逼近结果和正交投影算子的逼近性质证明了逼近特征值和特征函数的误差估计.另外,在逼近空间中构造了一组适当的基函数,推导了离散格式的基于张量积的矩阵形式,并将该算法推广到圆域的情形.最后,我们给出了大量的数值例子,数值结果表明了算法的有效性和高精度.第五章,提出了圆/球形区域上内部传输特征值问题的一种有效的谱逼近方法.首先我们定义了一种乘积型Sobolev空间,利用单位球上一类正交多项式构造了相应的逼近空间.其次,我们通过引入一个辅助函数,将原问题转化为一个等价的四阶混合格式,并推导了该四阶混合格式的变分形式及其离散格式.然后,我们利用投影算子的逼近性质和Babu?ka-Osborn理论,证明了逼近解的误差估计.另外,我们详细描述了算法的实现过程.最后,我们也给出了一些数值例子,数值结果表明了算法的有效性和高精度.