【摘 要】
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分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论,与整数阶微分方程相比,分数阶微分方程具有更广泛的应用背景和更复杂的性质.如在物理学中,分数阶微分方程可以用于描述非局域性现象,如扩散、输运和波动等;在生物学中,分数阶微分方程可以用于描述生物系统的复杂性和非线性行为等.因此,研究分数阶微分方程的理论和方法,对于深入理解自然界和社会现象具有重要意义.图论在物理、化学、网络理论、生物学分子结构等方面有大量的应用
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分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论,与整数阶微分方程相比,分数阶微分方程具有更广泛的应用背景和更复杂的性质.如在物理学中,分数阶微分方程可以用于描述非局域性现象,如扩散、输运和波动等;在生物学中,分数阶微分方程可以用于描述生物系统的复杂性和非线性行为等.因此,研究分数阶微分方程的理论和方法,对于深入理解自然界和社会现象具有重要意义.图论在物理、化学、网络理论、生物学分子结构等方面有大量的应用.这是由于图论提供了一个自然的结构,由此产生的数学模型几乎适用于所有自然科学和社会科学领域.其次图论能简洁的描述各个领域中“对象-关系”这种结构复杂的概念.因而图论思想和方法在许多学科中发挥越来越重要的作用.所以,对于图上分数阶微分方程的研究有一定的理论意义和现实基础.本学位论文主要研究的是度量图上几类分数阶微分系统解的存在性,并用Matlab对例子进行模拟仿真,得到了系统的近似解及其迭代过程.全文共五章,内容安排如下:第一章介绍了图上分数阶微分方程的研究背景和与本文相关的基本概念、引理.第二章研究了有2条边的星图上Caputo-Hadamard型分数阶微分系统.通过构造迭代序列,借助上下解方法得到系统解的存在性结论.丰富了图上微分方程的研究理论,特别是这里讨论的是非线性项含分数阶导数的情况,分数阶导数包含了整数阶的情况,应用的范围更广泛.第三章研究了有k条边的星图上具p-Laplacian算子的分数阶微分系统.首先通过变换得到了定义在[0,1]上的等价分数阶微分系统.通过不动点定理,得到了系统解的存在唯一性结论.并考虑了系统解的Ulam-Hyers稳定性.最后给出不同背景图（星形图和甲醛图）下的例子,并对例子进行仿真,得到系统的逼近解及其迭代进程.本章将图上微分系统边值问题和数值模拟相结合,更为直观的看到系统的近似解形状.并且在星形图每条边上建立了微分方程模型,它可以应用于物理、化学工程等不同的领域,既有理论意义又有一定的实用性.第四章研究了葡萄糖图上耦合序列分数阶微分系统,首先对葡萄糖的分子结构进行建模,然后运用不动点定理得到系统解的存在唯一性,并讨论了系统不同类型的Ulam-Hyers稳定性.最后给出例子,进行模拟仿真,得到解的迭代过程和逼近解.特别是在对葡萄糖分子结构建立模型时,每条边的原点没有固定,一旦改变沿边的移动方向,原点就会改变.因此研究时不需要特定变换来规范每条边的长度,还可以任意选择相应边两个顶点中的一个顶点作为原点进行建系,所得结果丰富了图上微分方程的相关研究工作.第五章是对本文的研究内容的总结以及对未来工作的展望.
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