由于分数阶导数能够比整数阶导数更准确地描述具有记忆和遗传性质的材料与物理过程,分数阶微分方程在诸多领域得到了广泛应用和深入研究.但是分数阶微分方程的解析解通常很难求出,即便能求出解析解,大多数的解也都含有无穷级数或一些难以计算的特殊函数,所以人们更加关注分数阶微分方程的数值解法.目前在对分数阶微分方程所提出的各种数值方法中,有限元方法由于区域适应性强,网格剖分灵活,并且简单通用,对解的光滑性要求不高,因而更受关注.本文研究了分数阶偏微分方程的几类有限元方法,其中重点研究了时间分数阶微分方程的降阶有限元方法和空间分数阶微分方程及方程组的时空有限元方法.所做的工作可以分为如下三部分.第一部分即本文的第三章研究了时间分数阶Cable方程的标准有限元方法.采用传统有限元方法的思想,在时间方向上采用有限差分离散.空间方向上利用有限元近似,得到了分数阶Cable方程的Crank-Nicolson型全离散格式.我们对时间分数阶导数的差分离散给出了不同于L1算法的新的系数,所得到的全离散格式关于时间层数n具有更好的继承性.文中还详细给出了全离散格式的稳定性分析和最优阶L2模误差估计结果,而且分别展示了空间一维和二维的数值例子,验证了理论分析的正确性.第二部分利用基于特征投影分解(POD)理论的降阶有限元方法分别分析了空间二维的时间分数阶扩散方程、时间分数阶Tricomi型方程以及时间分数阶Sobolev方程.所采用的降阶方法是：先利用一般有限元格式计算出在前面很短时间段内的有限元解,将其作为瞬像；然后从瞬像中找到在最小平方意义下的最优POD基,这些基函数的个数远远小于一般有限元方法的基函数的个数,将它们张成的空间作为降阶有限元空间；最后利用降阶有限元格式求得近似解.在时间分数阶微分方程的有限元方法中,要求tn时的解,需要将前面所有满足t<tn。的时间层上的解存储并叠加起来.由于我们在每个时间层上降低了解空间的自由度,整体的存储量和计算量就得到了大幅度降低,从而减轻了分数阶微分算子的非局部性带来的计算负担.在文中,我们给出了分数阶微分方程的全离散有限元格式和降阶有限元格式并分别进行了稳定性和收敛性分析,得到了有限元解和降阶有限元解的L2模最优阶误差估计结果.数值算例也表明,基于POD理论的降阶有限元方法能够保证在精度上不低于传统有限元方法的情况下极大地降低了存储量,提高了计算效率.本部分的内容安排在论文的第四章至第六章,在第五章中我们还具体给出了降阶有限元方法的算法流程.本文的第三部分研究了空间分数阶微分方程(组)的时空有限元方法.在第七章中,利用时间间断而空间连续的间断时空有限元方法研究了半线性空间分数阶扩散方程.对近似变分问题,通过适当选取试探函数得到了可以逐时间层推进求解的时空有限元全离散格式.在理论分析中,利用Radau积分公式将近似解表示为基于Radau积分点的Lagrange插值多项式的线性组合的形式,从而在不对时空网格施加任何限制条件的情况下给出了弱解的存在唯一性证明.通过引入椭圆投影算子,利用尼采(Nitche)技巧给出了分数阶椭圆投影的L2模估计,进而详细导出了时空有限元解的最优阶L∞(L2)模误差估计结果.在第八章,利用时间间断的时空有限元方法构造了非线性空间分数阶反应扩散方程组的全离散格式并给出了格式的适定性分析和误差估计,从而将间断时空有限元方法进一步推广到了分数阶方程组.理论分析和数值模拟结果均显示,间断时空有限元方法能够在时间和空间两个方向上同时达到高阶精度,对空间分数阶微分方程(组)仍适用.这为今后研究更复杂的分数阶方程(组)奠定了基础.