众所周知,椭圆方程问题作为偏微分方程的一个重要分支,一直备受国内外学者的关注,造成这一现象的主要原因是它与许多数学物理问题有着极大的源渊,在气体燃烧理论,固态物理学,静电场问题,变分法和最优控制等中有着广泛应用.环域上拉普拉斯方程解的存在性在椭圆方程的研究中一直扮演着不可或缺的角色,许多重要的结果在数学研究者的潜心研究下不断涌现.本文研究的是环域中带梯度项的椭圆方程Dirichlet问题解的存在性,考虑如下方程:#12其中,环域(?)非线性项(?)连续,且关于(u,p)是 C1 函数.本文主要研究两方面内容,一方面,我们考虑渐近线性情形下解的存在性.具体地说,我们首先将椭圆方程化成等价的常微分方程,然后在渐近线性条件的保证下,基于Sturm-Picone 比较定理,将方程解的存在性归结为等价算子在函数空间中不动点的存在性,在证明了算子是连续的,紧的,以及作用在函数空间上的值域有界之后,结合Schauder不动点定理,得到了不含导数项常微分方程解的存在性结果,然后再次使用Schauder不动点定理,证明了含有导数项的等价常微分方程解的存在性.另一方面,我们研究非线性项在超线性情形下解的多重性,此时我们不需要假设经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件,我们首先建立相应的Euler-Lagrange泛函,然后基于超线性条件,证明了泛函满足山路几何以及Palais-Smale条件,从而得到了固定导数项的常微分方程有弱解存在的结果.最后我们使用迭代法,克服了导数项所带来的困难,证明了等价常微分方程有一个正解和一个负解存在.本文安排如下,全文一共分为五章,第一章是引言,介绍本文所研究问题的背景,主要结果,并阐述本文需要用到的定义和引理;第二章到第五章是文章的主体部分,在第二章,我们将椭圆方程化成等价的常微分方程;然后在第三章,我们使用Schauder不动点定理,证明了等价常微分方程在渐进线性情形下有非平凡解存在;最后在第四章和第五章,通过山路引理,并结合可以克服由导数项所带来困难的迭代法,我们证明了等价常微分方程在超线性情形下有一个正解和一个负解存在.