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伴随着诸如Allais悖论、Ellsberg悖论等的提出,学者们致力于在非线性数学期望框架下研究经济金融问题.1997年,彭实戈院士通过一般形式的倒向随机微分方程引入了g-期望的概念.g-期望是一类典型的域流相容的非线性数学期望.本文以g-期望理论为基础,研究时间相容的动态凸风险度量的表示及相关问题.本文第一章为绪论部分,简要地介绍了研究的背景及本文的主要工作.第二章起,开始对动态凸风险度量的表示及相关问题进行深入探讨,并在以下方面取得较为显著的进展.第二章探讨了线性数学期望与凸期望之间的控制关系.我们研究了带限制条件的凸期望集合的极小元问题.通过构造性的方法,克服了Huang-Jia (2011)主要定理证明过程中存在的缺陷,并取得了一系列丰富的结果(见定理2.1-2.4,2.6).在Coquet-Hu-Memin-Peng (2002)非线性数学期望公理化的框架下,建立了著名的Hahn-Banach定理与带(单边)双边控制条件的凸期望集合的极小元结果之间的内在联系(见定理2.5).进一步地,研究了凸g-期望集合的极小元问题.获得了g-期望框架下的Sandwich定理(见定理2.7),证明了凸g-期望集合的极小元是线性g-期望(见定理2.8).此外,还获得了g-期望诱导的(静态)动态凸风险度量的最小惩罚函数零值问题的充分必要性条件(见命题2.4).第三章研究了g-期望诱导的时间相容的动态凸风险度量的表示问题.首先,研究了g-期望诱导的动态凸风险度量的表示形式.应用最小惩罚函数的上循环性,借助于次线性g-期望所控制的概率测度族刻画了g-期望诱导的动态凸风险度量的表示,从而从生成元g的视角,给出了g-期望诱导的动态凸风险度量的表示结果(见定理3.3-3.6).其次,研究了g-期望诱导的动态凸风险度量的最小惩罚函数的表示形式.给出了Barrieu-El Karoui (2005)中由生成元g生成的惩罚函数项是最小惩罚函数的一个充分必要性条件(见定理3.7).本章节的研究结果是Jiang (2008)g-期望诱导的风险度量在表示方面的一个自然的拓展,也是Rosazza Gianin (2006)、Barrieu-El Karoui (2005)、Chen-Kulperger (2006)、Jiang (2009)等对应结果的一个非平凡推广和完善.第四章研究了基于g-期望理论的时间相容的动态凸风险度量的表示问题.Delbaen-Peng-Rosazza Gianin (2010)在附加两个强制假设条件的前提下,通过应用g-期望理论研究了一类时间相容的动态凹效用的表示问题.本章提出了一个新的假设条件(A)来替代Delbaen-Peng-Rosazza Gianin (2010)所附加的两个强制假设条件.本章的结果(见定理4.1)是Delbaen-Peng-Rosazza Gianin (2010)结论的自然的改进和完善.事实上,从非线性数学期望视角出发,本章节的结果也是第三章的一个拓展.第五章研究了倒向随机微分方程诱导的关于过程的时间相容的动态凸风险度量问题.在倒向随机微分方程生成元g满足相关假设的前提下,其中生成元g不一定要求独立于y, Penner-Revaillar (2015)证明了以随机过程为参数的一类倒向随机微分方程的解所诱导的风险度量是关于过程的时间相容的动态凸风险度量.本章证明了该类倒向随机微分方程的解所诱导的风险度量是关于过程的时间相容的动态凸风险度量当且仅当生成元g满足Penner-Revaillar (2015)相关假设(见定理5.5).本章结果是Penner-Revaillar (2015)相应结果的拓展和完善,也是Jiang (2008)在关于过程的动态凸风险度量框架下的自然拓展和推广.