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本文着重研究流形上Laplace-Beltrami算子特征值的混合边值问题与子流形的刚性问题。
1968年，J.Simons研究了n+p维单位球面Sn+p中n维紧致极小子流形的几何，证明了著名的Simons刚性定理。1971年，Chern-doCarmo-Kobayashi进一步给出了Pinching条件S≤n/2-p-1下单位球面Sn+p中n维紧致极小子流形Mn的几何结构分类，这里S为第二基本形式模长平方。H.B.Lawson也独立地研究了余维数p=1的情形。之后，沈一兵，李安民，李济民等学者成功地将上述问题中的Pinching常数改进为max{2n/3，n/2-p-1}.推而广之，M.Okumura，S.T.Yau等学者先后研究了球面中平行平均曲率子流形的Simons型刚性问题，并获得部分结果。在此基础上，许洪伟于1993年完整地证明了球面中平行平均曲率子流形的刚性定理。
本文首先研究更为一般的局部对称的δ-拼挤黎曼流形中平行平均曲率子流形的刚性问题。证明了下述定理。
定理2.1设Mn为n+1维完备单连通的局部对称黎曼流形Nn+1中具有常平均曲率H的闭超曲面，且Nn+1的截面曲率满足δ≤KN≤1.若第二基本形式模长平方满足(S-nH2)[α(n，H)-S-2n(1-δ)]-1/2(1-δ)n3/2H√S-nH2≥0，
则Mn必为下述情形之一：
(1)全脐子流形；
(2)Sn+1(1)中的Clifford极小超曲面Sk(√k/n)×Sn-k(√n-k/n)，k=1，2，…，n-1；
(3)Sn+1(1)中的等参超曲面Sn-1(1/√1+λ2)×S1(λ/√1+λ2).
其中α(n，H)，λ定义如下:
λ=nH+√n2H2+4(n-1)/2(n-1)α(n,H)=n+n3H2/2(n-1)-n(n-2)H/2(n-1)√n2H2+4(n-1).
定理3.1.设Mn为n+2维完备单连通的局部对称黎曼流形Nn+2中n维闭的平行
平均曲率子流形，且Nn+2的截面曲率满足δ≤KN≤1.若第二基本形式模长平方满足(S-nH2)[α(n,H)-S-2n(1-δ)]-√2/2(1-δ)n3/2H√S-nH2-8/3(1-δ)√n-1S≥0，则Mn必为下述情形之一：
(1)全脐子流形(2)Sn+1(1)中的Clifford极小超曲面Sk(√k/n)×Sn-k(√n-k/n)，k=1，2,…，n-1；
(3)Sn+1(1)中的等参超曲面Sn-1(1/√1+λ2)×S1(λ/√1+λ2)；
(4)常平均曲率为H0的S3(r)中的Clifford环面S1(r1)×S1(r2)其中r1，r2=[2(1+H2)±2H0(1+H2)1/2]-1/2，r=(1+H2-H20)-1/2，并且0≤H0≤H.
其中α(n，H)，λ的定义同定理2.1。
定理3.2.设Mn为n+p维完备单连通的局部对称黎曼流形Nn+p(p≥3)中n维闭的平行平均曲率子流形，且Nn+p的截面曲率满足δ≤KN≤1。若第二基本形式模长平方满足
(S-nH2)[(2δ-1)n-3/2S+5/2nH2-n(n-1)/√n(n-1)H(SH-nH2)1/2]-√p/2(1-δ)n3/2H√S-nH2-8/3(p-1)(1-δ)√n-1S-≥0，
则M必为下述情形之一：
(1)全脐子流形；
(2)Sn+1(1)中的Clifford极小超曲面Sk(√k/n)×Sn-k(√n-k/n)，k=1，2,…，n-1；
(3)Sn+1(1)中的等参超曲面Sn-1(1/√1+λ2)×S1(λ/√1+λ2)；
(4)常平均曲率为H0的S3(r)中的Clifford环面S1(r1)×S1(r2)其中r1，r2=[2(1+H2)±2H0(1+H2)1/2]-1/2，r=(1+H2-H20)-1/2，并且0≤H0≤H；
(5)S4(1/√1+H2)中的Veronese曲面.
其中λ的定义同定理2.1。
注1.定理2.1、定理3.1与定理3.2推广了文献[42]中的主要定理。
其次，本文研究了混合边值条件下紧致黎曼流形的Laplace-Beltrami算子的特征值问题。在整体黎曼几何与几何分析中，用几何不变量来估计紧致流形上Laplace-Beltrami算子第一特征值的下界是十分重要的研究课题。A.Lichnerowicz成功的给出了具有正Ricci曲率的闭黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的第一特征值的最优下界估计：设Mn为n维闭黎曼流形，其Ricci曲率满足RicM≥n-1，则Mn的第一非零特征值λ1≥n。1962年，M.Obata进一步证明当上述估计式取等号时，Mn整体等距于标准单位球面Sn(1)。1977年，R.Reilly证明：设Mn为Ricci曲率满足RicM≥n-1的n维紧致带边黎曼流形，且边界超曲面N的平均曲率非负，则Mn的第一Dirichlet特征值μ1≥n，且等式成立时，Mn必整体等距于标准半球面Sn+(1)。1988年，J.Escobar与夏昌玉独立地证明：如果Mn为Ricci曲率满足RicM≥n-1的n维紧致带边黎曼流形，且边界超曲面(Э)M是凸的，则Mn的第一Neumann特征值v1≥n，且等式成立时，Mn必整体等距于标准半球面Sn+(1)。证明了下述不等式。
定理4.1.设Mn为带边(Э)M或不带边的n维紧致黎曼流形，且其Ricci曲率RicM≥n-1。则有Mn上关于混合边值条件的第一非零特征值η1满足η21-nη1≥C(M，f，θ)，
其中C(M，f，θ)={C1(M，f，θ)，若θ≠π/2，C2(M，f，θ)，若θ≠0，C1(M，f，θ)=n/n-1{∫(Э)M[2tanθ|▽u|2+n-1∑i=1z2iki+u2(H-(n-1)tanθ)]d(Э)M}{∫Mf2dM}-1，C2(M，f，θ)=n/n-1{∫(Э)M[2cotθ|▽z|2+n-1∑i=1z2iki+z2(Hcot2θ-(n-1)cotθ)]d(Э)M}{∫Mf2dM}-1，其中，f是关于特征值η1的非零的特征函数，z=f|(Э)M，u=(Э)f/(Э)v|(Э)M.
注2.定理4.1推广了Lichnerowicz、Reilly、Escobar、夏昌玉、Cheng-Li-Yau的有关结果。
再次，本文研究了一般黎曼流形中紧致带边或不带边子流形上关于混合边值条件的Laplace-Beltrami算子的特征值与特征函数，证明了下述积分不等式。
定理5.1.设Nn+p为第n个Ricci曲率≥n-1的n+p维黎曼流形，Mn为Nn+p中的n维紧致带边或不带边子流形，且如果η和f分别为Mn上Laplace-Beltrami算子关于混合边界条件的特征值与特征函数，则
∫M[η-n-2nH+S+n(n-2)/√n(n-1)H(S-nH2)1/2]2]|(▽)f|2dM≥∫(Э)MD(z,zi,θ,ki,η)d(Э)M，其中D(z，zi，θ，ki，η)的定义参见第16页。
最后，本文研究了一类黎曼子流形上Laplace-Beltrami算子关于混合边值条件的第一特征值的下界估计，证明了如下定理。
定理5.2.设Nn+p为第n个Ricci曲率≥n-1的n+p维黎曼流形，Mn为Nn+p中的n维紧致带边或不带边子流形，如果S≤√n，则Mn上Laplace-Beltrami算子在混合边值条件下的第一非零特征值满足
η1≥2√n-1-√n+∫(Э)MD(z,zi,θ,ki,η1)d(Э)M/∫M|(▽)f|2dM，
其中f为关于η1的特征函数。
注3.定理5.1与定理5.2拓广了文献[30]与[45]中的两个定理。