图像数据是一类非常重要的高维数据,是人们日常生活中极为重要的信息载体,本文以图像数据为切口,侧重于图像复原问题的研究。图像复原的目的是尽可能的将低质量的退化图像恢复成原来清晰干净的图像。数学上来说,图像复原问题研究的是从观测数据中寻求原真实数据的反问题,包含去噪音、去模糊、修补、超分辨等分支。正则化方法（如稀疏优化算法）被广泛应用于图像复原领域,该方法主要是依靠真实图像的先验知识,通过对解空间进行约束得到高质量的复原图像。基于图像稀疏先验知识的稀疏优化算法,建立的基础是图像在合适的变换下可以被稀疏表示,我们通常选取一个可以促进潜在结果稀疏的泛函作为正则项,如约束解的?₁范数作为正则项。对于正则化方法而言,探究和使用更多可靠的先验知识,构建更有效的正则项模型无疑是最重要的研究课题之一。本文旨在对稀疏正则项模型进行改进,除了稀疏先验知识以外,利用更多其它图像结构信息帮助提升图像的恢复质量。本文主要内容以及创新点归纳如下:一、对于图像修补问题,我们提出了一种新颖的基于小波框架的加权?₁正则项模型。通过交替进行支撑集检测和求解加权?₁最小化问题,给出了多步骤凸松弛优化算法,逐步得到更高质量的恢复结果。更重要的是,在进行支撑集检测时,我们充分利用了小波框架变换系数的结构信息,根据小波框架分解的多层次特性,得到更精确的支撑集信息,从而进一步提升了图像的恢复质量。二、对于图像去模糊问题,我们提出了一种新颖的基于小波框架的截断?₀正则项模型。大多数基于小波框架的图像复原模型（如?₁和?₀正则项模型）仅仅利用了稀疏先验知识。与其相比较,本文通过自我学习获得部分支撑集,并将支撑集先验知识植入到稀疏正则项模型中,首次提出了截断?₀正则项模型。三、对于一般的图像复原问题,我们提出了基于小波框架的截断?₀-?₂正则项模型。相较于截断?₀正则项模型,新增加的?₂正则项更进一步利用了图像块在空间上的自重复性,即变换域中系数的非局部先验知识也被利用在正则项中,这将使得纹理和细节部分在恢复图像中很好的得到保存。不同于?₀-?₂正则项模型使用了系数的稀疏和非局部先验知识,在我们提出的截断?₀-?₂正则项模型中,系数的支撑集先验知识也加入其中,这将会在保留图像边界上有很大的效果提升。对比传统的小波框架?₁和?₀正则项模型仅仅使用了系数的稀疏先验知识,我们模型中额外加入了支撑集和非局部先验知识,这将会在恢复图像中更好的增强边界和保留纹理细节部分。四、对于图像光滑问题,我们提出了一种新颖的截断?₀梯度正则项模型。相较于原来的单一阶段方法,我们所提算法属于两阶段方法。第一个阶段,我们求解?₀梯度正则项模型,或者使用其它算法得到一幅初始光滑图像。第二个阶段,我们在第一个阶段的光滑图像上进行支撑集检测,得到并求解构建的截断?₀梯度正则项模型,返回一幅更高质量的光滑图像。