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本文主要讨论无穷下三角矩阵及其在寻觅组合恒等式方面的应用，所得到的方法在处理组合和、恒等式及反演关系时非常有效。 本文的主要工作如下： 1．本文利用指数族及二项式型多项式序列将Pascal三角形推广到函数矩阵（分别记为Pn[x]和Pn[x]），提出并证明广义Pascal函数矩阵满足的性质，并利用广义Pascal函数矩阵Pn[x]和Pn[x]得到一系列重要的组合恒等式，[6]中所有的结果都为本文的特殊情况。 2．在由恒等算子I和位移算子E生成的环R（I,E）中用算子定义了4种算子Pascal三角形Pn[L],Qn,k[L],Qn,k[L1,L2]，Fn[gn（L）]，给出这4种算子Pascal三角形之间的关系，并且应用它们得到一些矩阵恒等式及大批包含各种类型Stirling数及二项式系数的组合恒等式。 3．定义了修正的Jabotinsky矩阵，将无穷下三角矩阵与微分算子D联系在一起，利用修正的Jabotinsky矩阵给出一些反演对，引进了无穷下三角矩阵T（f），并且利用它得到某些组合恒等式。 4．（1）给出一种构造Riordan矩阵｛dn,k}的方法。 （2）利用Faa di Bruno公式得到一些包含特殊组合数的恒等式，并且利用Lagrange反演公式得到一个推论。 （3）设利用普通型和指数型Riordan阵找到了数列{ak}k≥0与{Ak}k≥0之间的关系，并且利用Lagrange反演公式得到一些新的反演关系，[35，42]中的大部分结果都是本文的特殊情况， （4）利用[27]中各种形式的Lagrange反演公式得到一批有关互反函数的求和公式，正象[111]中所列的情况一样，这些公式在求组合和、寻觅恒等式，尤其对某些含特殊组合数Stirling数、Bemoulli数等的恒等式特别有效。 大连理工大学博士学位论义 5．文口］将最基本的卷积公式总结如下： ＿lr 11stir ＋ sl．、，＿＿． yi 111＝11．＼l．R l Wgy j 1厂乙i 十允八厂 一点八刀口 十nJ ＿iii sl！l＋s．．＿、．＿＿、 3ill＝11．IZ U，地．厂为WH)． W＼刀r十点人n十允JV 一】口十nJ ＿11 留 s＋KI，＿。。，。、’。＿IS—ml．－＿、．＿。， ＼’l’I－’””I．11”＝＿11’“”！—”‘”11＞fi．m n h WW ) W ＼ m＋K)＼ n j ＼ n－l) ＿！l——K f S 1．。、0，＿、；。 f S——S—11－一、．＿＿。’。 丁！n l＼一1)－＝＼一1)一11．It，m．n Nmsesi)． o ＼ m)t x’n j＼l”m”n j 》I 口－I＝I－D、人m．l 三三U．U 兰三U 土三U NN HH多口义J 口三王三人 刀rA 严丁J＼月口＋h＋1／ 本文利用超几何级数给出上述公式的一个统一形式，并得到相应的一些超几何变换． 6．历。删沏函数以d＝了上，R4J＞l，在解析数论中占有十分重要的地位，本文讨论了含 iemann Zeta函数的形如：： ＜（n，k，I）＝Z（a；a＊…a后）C（Za付（q）…C（Za丛） OI十02十”令内。刀 qlZ！，O： ZI，…oh ZI的和计算问题，统一了关于＜切，k刀）的递推公式并给出了其新的证法，对有限正整数l给出了＜h人I)的计算方法和公式．