Banach空间的凸性研究是Banach空间几何理论的重要研究内容之一,Banach空间几何理论的研究就是从Banach空间单位球的凸性开始的,由于凸性具有鲜明的直观几何意义,凸性的研究吸引了无数的数学工作者,人们详细地讨论了各种凸性的性质和它们在控制论、最佳逼近以及不动点理论中的应用.凸性是与Radon-Nikodym性质有密切联系的几何性质,Banach空间的凸性强到某种程度空间就必然具有Radon-Nikodym性质(如,k一致凸空间、一致凸空间等),1936年J.A.Clarkson引进了一致凸空间,并证明了一致凸空间具有Radon-Nikodym性质,他的工作标志着揭开了研究Radon-Nikodym性质的序幕.Banach空间的可凹性研究也是Banach空间几何理论的重要研究内容之一,可凹性是与Radon-Nikodym性质有密切联系的几何性质,事实上,Banach空间X具有Radon-Nikodym性质当且仅当X的每一个有界集是可凹的,这是把Radon-Nikodym性质作为一种几何性质来研究的一个真正突破.虽然,凸性和可凹性都与Radon-Nikodym性质有密切的联系,但是揭示凸性和可凹性之间的直接联系的结果却很少见,目前只有吴从炘和黎永锦的重要结论:若X是自反的Banach空间,则X是强凸的当且仅当X的单位球面的每一点是闭单位球的可凹点.笔者在学习过程中注意到了Banach空间几何研究在这一方面的不足,引入了各种可凹性,详细地讨论了Banach空间的凸性和可凹性之间的联系,给出了揭示凸性和可凹性之间联系的重要结论.此外,Banach空间的凸性研究总是以单位球为研究对象,本文则以Banach空间的一般凸集为研究对象,将Banach空间的凸性研究的部分结果推广到了内部非空的凸集上.在本文中进行的关于可凹性与凸性的研究上我们取得了较好的结果,全文共分为三章.第一章:引入了弱可凹点,弱?可凹点和一致可凹集的概念,并以此为工具刻画了自反的非常凸空间和一致凸空间的特征,得到了各种可凹性的性质,并讨论了两个非常凸(强凸)空间的乘积空间的单位球面上的弱可凹点的分布情况以及乘积空间的弱可凹性.第二章:引入了k弱可凹点,k弱?可凹点和k一致可凹集的概念,并以此为工具刻画了自反的k严格凸空间(k强凸空间)和k一致凸空间的特征,得到了各种k可凹性的性质,并说明了k可凹性蕴涵( k + 1)可凹性,但反过来不成立.第三章:给出了严格凸集,一致凸集的定义,得到严格凸集和一致凸集的性质.