风险理论是金融数学的重要部分,破产理论作为是风险理论研究的核心,促进了许多学者对破产理论的研究.一百多年前Lundberg建立了经典风险模型,这个模型建立的条件过于理想,之后许多学者对其条件以及结论进行了改进和推广.本文在经典模型的基础上考虑了在带利息的风险模型中各次索赔时的破产概率及破产前索赔数量的矩,以及带扩散扰动和常利率的马氏调制风险模型中的期望贴现罚金函数.第1章介绍了风险模型发展历程及研究现状.第2章建立了带常利率的经典风险模型及马氏调制风险模型.第3章考虑了破产时间和破产前的索赔次数的联合密度及各次索赔时的破产概率.通过Dickson的结论,得出了初始盈余u=0时破产时间Tu与破产前发生的总索赔次数NTu的联合密度ωn(0,t),之后对ωn(0,t)关于t积分得到初始盈余u=0时各次索赔时的破产概率.其次通过分类讨论可能导致破产的情况,用概率学的方法计算了初始盈余u>0时破产时间Tu和破产前发生的总索赔次数的联合密度ωn(n,t)的积分微分方程,通过ωωn(n,t)计算了第n次索赔时破产的概率pn(u).第4章考虑了破产前发生总索赔次数的矩.通过概率学方法得到了 Gerber-Shiu型函数的积分微分方程,通过对Gerber-Shiu型函数求导,得到初始盈余u=0时破产前发生的总索赔次数的一阶矩,之后通过求Gerber-Shiu型函数φr(u)导数的Laplace逆变换得到了u>0破产前发生的总索赔次数的一阶矩及二阶矩.第5章考虑了马氏调制风险模型中的Gerber-Shiu函数.通过概率学方法得到了带扩散扰动的马氏调制模型中φω(u;i及φd(u;i)的积分微分方程,其次通过积分微分方程的导函数求出了φω(u:i)及φd(u;i)的Laplace变换的近似矩阵.最后计算了索赔额服从指数分布时φω(u;i)及φd(u;i)的近似解.