【摘 要】
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在2005年,香港理工大学L.Q.Qi教授与美国芝加哥大学L.H.Lim教授分别提出了张量特征值的概念,引起了学术界的广泛关注,吸引了众多国内外学者参与到非负张量理论、超图谱理论和张量方程求解等张量特征值的相关问题研究中。张量方程广泛应用于控制系统、理论物理学等工程问题中,如Einstein引力场方程,三维粘性绕流计算方程、高维Poisson方程等均为张量方程,其中张量方程的求解是重要的研究问题。
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在2005年,香港理工大学L.Q.Qi教授与美国芝加哥大学L.H.Lim教授分别提出了张量特征值的概念,引起了学术界的广泛关注,吸引了众多国内外学者参与到非负张量理论、超图谱理论和张量方程求解等张量特征值的相关问题研究中。张量方程广泛应用于控制系统、理论物理学等工程问题中,如Einstein引力场方程,三维粘性绕流计算方程、高维Poisson方程等均为张量方程,其中张量方程的求解是重要的研究问题。2016年,L.Sun等人首次用Einstein乘积下张量的广义逆给出了张量方程的极小范数最小二乘解。本文主要研究Einstein乘积下张量的Drazin逆和张量秩的性质,并用张量的Drazin逆给出了一类张量微分方程的解,主要成果如下:1.给出了张量Drazin逆的一些基本性质,建立了张量的Cline公式,给出了Einstein乘积下张量群逆存在的充分必要条件。2.通过对张量指标集的划分定义了两种“分块张量”包括“下三角块张量”和“反对角块张量”,并给出了这两种“分块张量”Drazin逆的表达式。给出了两个张量加和的Drazin逆的计算公式;3.将矩阵级数、导数和积分的概念推广到张量上,给出了张量级数、张量导数与张量积分的基本性质。根据张量的Drazin逆给出了一类张量微分方程的解。4.结合张量Einstein乘积定义了张量的Einstein秩,给出了张量的Einstein秩的一些不等式。同时研究了张量的Einstein秩与张量的一般秩的关系,得出了一般秩等于1的张量其Einstein秩也是1。
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