各向同性逾渗模型（简称逾渗模型）和定向逾渗模型分别是平衡态统计和非平衡态统计中最基本的模型之一。虽然两个模型的定义都很简单，但却由于其展现出来的丰富的相变特征而吸引了无数科研工作者的关注。在逾渗模型中形成的团簇可能是体现标度不变性最简单的例子。和逾渗模型最大的不同之处在于，定向逾渗模型中的标度律是各向异性的。在临界区域里，两者也有着完全不同的相变行为，即它们分别属于不同的普适类。在以前的工作中，多数都是将两者分开来单独研究的，也有一些研究工作关注于两模型之间，或者说两普适类之间的跨越性质。在1994年，EFrey等将逾渗和定向逾渗统一在重整化群框架中，用场论方法在单圈近似下计算了各种临界指数以及由逾渗向定向逾渗跨越的跨越指数。　　 定向逾渗模型中团簇的生长只能沿着时间轴的正方向，如果我们在此基础上也允许团簇以一定的概率沿着时间轴负方向生长，那么情况就会变的更加复杂了。我们以键逾渗为例，并且将沿着时间轴正负方向的生长概率分别表示为p↓=p·pd和p↑=p·(1-pd)。其中，p代表着键的平均占据概率，pd代表各项异性的程度。我们将这样一个广义的逾渗模型称为带偏向性的定向逾渗模型。因此，在这个广义的模型中，普通逾渗和定向逾渗分别对应着pd=1/2和pd=1，0两种特殊情况。除了这两种特殊情况之外，我们还重点研究了该广义模型中一个新的区域1/2＜pd＜1。在这个区域里，我们以pd=0.6，0.8为例来进行研究。通过蒙特卡洛模拟和有限尺寸标度分析，我们得到了pd=0.6，0.8情况下的临界点和临界指数。从数值上看，这些临界指数和定向逾渗模型的相吻合。因此，我们得出结论，在带偏向性的定向逾渗模型中，除了pd=1/2外，1/2＜pd＜1对应的系统均属于定向逾渗普适类。　　 在研究不同普适类之间的跨越行为时，有一个重要的指数称为跨越指数，其值的正负代表了重整化流的方向。在带偏向性的定向逾渗模型中，我们在数值上证实了普通逾渗是一个不稳定的固定点。从标度理论的角度看，说明了额外引人的标度场pd-1/2在pd=1/2附近是相关的。刻画额外标度场的标度幂称为跨越指数。在普通逾渗模型固定点附近，通过研究两个相互正交临界区域的有限尺寸标度，我们在数值上测量了普通逾渗向定向逾渗跨越的跨越指数。　　 在带偏向性的定向逾渗模型中，pd=1/2对应着普通逾渗模型。关于逾渗模型已经开展了长达半个多世纪的研究了。场论，保角场，蒙特卡洛方法以及级数展开等理论和数值方法都在逾渗模型上有很多的应用。在二维系统上也得到了很多的解析解，例如二维正方晶格上键逾渗的临界点为1/2，刻画序参量和关联长度的两个独立的临界指数分别为β=5/36，v=4/3。然而，还有少数的指数依然没有解析解，其中就包括了最短路径指数dmin。关于dmin的解析解一直是平衡态统计中的一个难题。虽然有很多的解析猜测，都一一被更高精度的数值结果否定了。在我们的工作中，通过大规模的数值模拟，得到了精度更高的估计dmin=1.1307(1)。