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本文主要研究有关局部Lagrange数值微分法的一些关键性的理论问题:公式的显式表示,余项的渐近估计,以及在插值数据有扰动的情况下,局部Lagrange数值微分法的最大逼近阶.
Lagrange数值微分法即为求导Lagrange插值多项式L(t):=L(t;f,Tn):=∑ej(t)f(tj)=f(t)-R(t)得到的逼近导数的方法,这里Tn={t0,t1……,tn}是一组互不相等的节点,而ω(t):=nΠi=0(t-ti),ej(t):=ω(t)/(t-tj)ω(tj)在以前,对于Lagrange插值,函数逼近论学者和计算数学学者有着迥然不同的理解.前者看插值的收敛过程是指插值次数n趋向于无穷时的极限过程.但在后者看来,插值的收敛过程是指插值节点的间距h趋向于零的极限过程.鉴于此,不妨称前一过程为整体的Lagrange插值,而把后一过程称作局部的Lagrange插值.
本文利用对称置换群的循环指标多项式将Lagrange数值微分公式L(k)显式地表示出来.而作为基于Lagrange插值的一种方法,Lagrange数值微分法也有整体与局部之别.至于整体Lagrange数值微分公式的余项估计问题已被人解决,而本文则给出了局部Lagrange数值微分公式的余项估计,这里尤其需要注意的是ω(k)(x)=0时的情形,因为在整体Lagrange数值微分法中是不存在这种情况的.之后,同样利用循环指标多项式可给出局部Lagrange数值微分公式余项的显式表达式.这样,就得到了一个包含计算公式和余项表达的完整的局部Lagrange数值微分公式.
在现实中使用局部Lagrange数值微分法时,还需要考虑到这样的情况:通常用来作插值的数据f(ti)(i=0,1,…,n)不免会有误差,如果这些误差均不超过正数ε,那么就相当于对取自函数集fε(x)的函数~f作插值而用L(k)(x;~f,Tn)逼近f(k)(x),这里
fε(x):={~f|存在x的邻域U使|f(t)-f(t)|≤ε,()t∈U}.插值数据的这种扰动,对k=0的情形并不会产生太大影响.但是,当k≥1时,由于分母上hk的作用,数据的ε被放大成ε.h-k,一般说来,L(k)(x;~f,Tn)对f(k)(x)的收敛性就成了问题.这就是通常所说的Lagrange数值微分法的不稳定性.显然,要得到稳定的Lagrange数值微分法,只要使截断误差与ε·hk保持同阶并和它一起趋于零就行.关于此,在以前的文献中有过定性的阐述.而本文将对它进行定量的展开,给出带扰动的局部Lagrange数值微分法的最高精度,即当ε→0时L(k)(fε(x),Tn):=sup|L(k)(x;~f,Tn)-f(k)(x)|f∈fε(x)趋向于零的最大阶.从这个结论的证明过程中,不难发现根据扰动界ε和插值次数n确定参数h的较为精确的方法,从而便逼近阶达到最大.结合文中给出的显式表达式,本文还提供了数值例子以验证本文的结论.
在考虑一般的等距节点时,附录A给出了Lebesgue函数在这些节点上的值,这为计算参数h提供了方便.附录B则列出低阶的完整的Lagrange数值微分公式,以及达到最大逼近阶时h的计算公式.