【摘 要】
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带导数的非线性薛定谔方程广泛应用于流体力学、光学等物理研究领域.本文研究周期变系数带导数的非线性薛定谔方程的周期动力学行为,包括大振幅周期解和小振幅周期解的存在性及其旋转数估计.考虑一致传播相干结构,我们分别得到振幅和相位的演化方程.振幅方程为带有奇异性的二阶微分方程,相位函数依赖于振幅函数的变化.要得到周期解,我们必须证明振幅和相位方程均存在周期解.首先,我们应用Poincaré-Birkhof
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带导数的非线性薛定谔方程广泛应用于流体力学、光学等物理研究领域.本文研究周期变系数带导数的非线性薛定谔方程的周期动力学行为,包括大振幅周期解和小振幅周期解的存在性及其旋转数估计.考虑一致传播相干结构,我们分别得到振幅和相位的演化方程.振幅方程为带有奇异性的二阶微分方程,相位函数依赖于振幅函数的变化.要得到周期解,我们必须证明振幅和相位方程均存在周期解.首先,我们应用Poincaré-Birkhoff扭转定理证明振幅演化方程具有无穷多个大振幅周期解.这些大振幅周期解依赖于积分常数,利用解对参数的连续性,我们进而可以得到相位的演化方程无穷多个周期解.利用解的估计,我们证明了这些大振幅周期解的旋转数趋于无穷大.其次,我们应用平均理论对小振幅周期解进行研究.由此,我们不仅证明了无穷多个小振幅周期解的存在性,并且还给出了小振幅周期解的精确表达式.除此之外,我们还得出这些具有非平凡相的小振幅周期解的旋转数趋向于某一确定的常数.与已有的结果相比较,本文的创新点包括两个方面.一方面,我们考虑的是变系数带导数的非线性薛定谔方程,相关的可积理论无法直接应用.另一方面,我们得到的大振幅解和小振幅解均具有非平凡的相,我们对其旋转数也进行了刻画.
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