众所周知，Gauss超几何函数F(a,b;c;x)在几何函数论、数论及其它一些方面有重要的应用.数学物理中很多类的特殊函数都是超几何函数的特例或者极限情形.不久之前，Gauss超几何函数F(a,b;c;x)和它的一些特殊情形是研究的热点.本文第一个结论是建立了零平衡超几何函数的一类二次变换不等式.凸函数是一类非常重要的函数,它是研究数理经济学、最优化理论和方法,最优控制理论等学科的重要基础,利用它可以证明很多重要的不等式.最近几年，Hp,q凹凸性成为凸理论研究的热点，很多重要的性质和不等式被确立.本文的第二个结论是给出了广义三角正弦函数sinp(x)和广义双曲正弦函数sinhp(x)的Ho¨lder-凸凹性的充要条件.由于直接研究sinp(x)和sinhp(x)的Hp,q-凹凸性的充要条件比较困难,我们转向研究广义三角正弦函数的反函数arcsinp(x)和广义双曲正弦函数的反函数arcsinhp(x)的Hp,q-凹凸性的充要条件,进而推出广义的三角正弦函数sinp(x)和广义的双曲正弦函数sinhp(x)的Hp,q-凹凸性的充要条件.众所周知,完全椭圆积分在工程技术、物理等学科以及数学学科中的拟共形映射、平均值理论、几何函数论等分支都起着非常重要的作用.近年来大量数学工作者已经从不同的角度对完全椭圆积分进行了广泛的研究，得到了许多关于完全椭圆积分的性质及估计，以及这些性质的推广.本论文的最后一个主要结论是利用算术平均与反调和平均给出了Toader平均新的上下界,进而得到了第二类完全椭圆积分E(r)的新的估计，改进了一些已知结果.