设M∈Mn(R)为n阶实扩张矩阵(即，M的所有特征值的模大于1)，D∈Rn为有限数字集且基数记为|D|,{φd(x)}d∈D(φd(x)=M-1(x+d)，x∈Rn，d∈D)为迭代函数系(IFS).则IFS生成一个满足测度方程μ=1/|D|∑d∈Dμοφd-1的自仿测度μ:=μM，D，它的支撑在IFS{φd}d∈D的吸引子T（M，D）上.　　设Λ∈Rn为一个可数集，EΛ={e2πi<λ，x>:λ∈Λ}，μ为Rn上具有紧支撑的Borel概率测度，如果EΛ是L2(μ)的正交基，则称μ为谱测度，Λ为μ的谱，（μ，Λ）称为谱对.测度的谱性问题是调和分析中的一个基本问题.在这篇论文中，主要研究低维空间中一些自仿测度μM，D的谱性问题.这个问题源自于1974年的Fuglede猜测和Jorgensen与Pedersen对分形谱测度存在性的研究.本文共分三章.　　第一章对分形自仿测度的谱与非谱问题的研究背景和意义进行了综述，并列出了文章的主要结论.　　第二章研究了一维空间中由直和形式的数字集形成的自仿测度μb，D的谱性问题，得到如下结论:设N，p，q∈N+，D={0，1，…，N-1}⊕ Np{0,1，…，N-1}，其中p，q满足p≥1，q≥2，且b=Nq，则μh，D是一个谱测度当且仅当q(l)p.　　第三章研究了平面上由扩张矩阵M∈M2(Z)和三元素数字集D={(00），(10)，(29)}生成的自仿测度μM，D的非谱问题.证明了如果det(M)(∈)3Z，那么在L2(μM，D)中最多存在81个相互正交的指数函数，而且数字“81”是最好的.