反应扩散方程是一类重要的偏微分方程,是自然界中普遍存在的扩散现象的一种数学抽象.反应扩散方程涉及了许多科学研究领域,如化学,物理,生物群体动力学,金融学,经济学等等.近年来,国内外众多数学家对具适当初边值条件的反应扩散方程进行了研究,并且在解的局部存在与惟一性,整体存在性,正则性,爆破,熄灭与淬灭等方面取得了丰富的成果.特别地,由非线性扩散项,反应项,吸收项,对流项,边界项以及它们的耦合所导致的解的奇性引起了众多学者的兴趣.时至今日,对反应扩散方程解的奇性的研究仍是一个十分活跃的领域.本文将研究几类源于实际问题的非线性反应扩散方程(组)解的有限时刻熄灭问题,考察非线性扩散,非线性源和非线性吸收项对解的熄灭的综合影响.主要内容共分为四章.第一章为绪论.我们首先介绍本文将要研究问题的实际背景和发展状况,然后概述我们所要讨论的问题和所使用的方法.在第二章中,我们研究一类具非线性非局部源和吸收项的快扩散抛物方程在Dirichlet边界条件下解的熄灭其中0<m<1,a,b,q,r>0,Ω是RN(N≥1)中具光滑边界Ω的有界区域,并且初值U0∈L∞。(Ω)是非负非平凡的.当吸收项是线性函数(r=1)时,经过变换v(x,t)=ebtu(x,t)就可以将吸收项去掉,从而将问题转化为不带吸收项的情形.然而当吸收项是非线性函数时,判断相应问题的解能否在有限时刻熄灭将变得更加复杂.结合积分估计技巧和著名的Gagliardo-Nirenberg插值不等式,人们仅可以对该问题的解是否会在有限时刻熄灭给出部分回答.为了能够更加清晰地刻画非线性扩散项、非局部源项和非线性吸收项对解熄灭的综合影响,给出临界熄灭指标,我们首先对问题建立弱比较原理.由于当0<q<1时,非局部源项不是Lipschitz连续的,我们无法对所有解建立比较原理,而只能对一些满足特殊条件的上、下解建立比较原理.基于这样的弱比较原理,我们进一步通过构造不熄灭的下解或熄灭的上解来讨论问题的解是否熄灭,从而就问题(1)的解是否熄灭对其指标给出较为完整的分类.这一章的主要结果如下：定理1.假设下述条件之一成立：(i)q>m.(ii)min{q,1)>r,或q=r<1且a|Ql<b.则对适当小的初值uo(x),问题(1)的解在有限时刻熄灭.定理2.假设q<m.如果g<r,或g=r且b<aγ,则对任意非负初值,(1)至少有一个不熄灭的解.这里是下述特征值问题满足的第一特征函数.定理3.假设g=m.(ⅰ)如果aμ<1,则对任意非负初值,问题(1)的解都在有限时刻熄灭.(ⅱ)砂如果q<r<1,则当aμ=1时,对任意非负初值,问题(1)的解在有限时刻熄灭;而当a|Ω| ≤λ1时,(1)的解满足limt→+∞‖u(·,t)‖2=0.这里λ1是-△在Ω上具齐次Dirichlet边界条件的第一特征值.(ⅲ)如果q<r且aμ>1,或者q<1≤r且aμ=1,则对任意正初值u0(x),(1)至少有一个不熄灭的解.这里是下述问题的惟一正解-△φ(x)=1, x∈Ω；φ(x)=0, x∈(?)Ω.在第三章中,我们将上一章中得到的结果进行推广,考虑带非局部源和吸收项的非牛顿多方渗流方程解的熄灭问题其中a,b,m,q,r>0,0<m(p-1)<1,Ω是RN(N≥1)中具光滑边界(?)Ω的有界区域,初值u0(x)是满足u0m∈L∞(Ω)∩W01,p(Ω)的非负非平凡函数.我们首先借助Leary-Schauder不动点定理研究了该问题弱解的局部存在惟一性、整体存在性及整体有界性,然后利用上、下解方法研究该问题解的熄灭性质.同第二章遇到的困难类似,我们也只能对某些特殊的上、下解进行比较.基于这样的弱比较原理,我们通过构造熄灭的上解或不熄灭的下解来讨论解是否会熄灭,从而就问题(2)的解是否熄灭对其指标给出较为完整的分类.具体结果如下：定理4.假设下列条件有一个是成立的:(i)q>m(p-1).(ii)min{q,1)>r,或者q=r<1且a|Ω|<b.那么对于适当小的初值,问题(2)的解都在有限时刻熄灭.定理5.假设q<m(p-1).如果q<r或者q=r且b<aγ成立,那么对于任意非负初值,问题(2)至少存在一个不熄灭的解.这里是下述特征值问题满足||φ1||L∞(Ω)=1的第一特征函数.定理6.假设q=m(p-1).(ⅰ)如果aK<1,则对于任意非负初值,问题(2)的解都在有限时刻熄灭.(ⅱ)如果g<r<1,则当aκ=1时,对任意非负初值,问题(2)的解在有限时刻熄灭;而当alΩ|≤入1时,(2)的解满足limt→+∞‖u(·,t)‖2=0.这里入1>0是p-Laplace算子在Ω上的第一特征值.()ⅲ如果g<r,aK>1,或者g<1≤r,aK=1成立,则对于任意正初值,问题(2)至少存在一个不熄灭的解.这里是下述问题的惟一正解-div(|▽φ|p-2▽φ)=1,x∈Ω;φ(x)=0,x∈(?)Ω.在第四章中,我们研究具非线性源的快扩散方程组解的熄灭性质其中p,g>1,m,n,α,β>0,m(p-1),n(q-1)<1,Ω是RN(N≥1)中具光滑边界(?)Q的有界区域.初值u0(x),v0(x)是非负非平凡的,且满足u0m∈L∞(∮)∩W01,p(Ω),v0n∈L∞(Ω)∩W01,q(Ω).需要指出的是前两章我们使用的上、下解方法对于问题(3)不再适用.一方面是因为当指标满足αβ>mn(p-1)(g-1)时,我们发现很难构造一个合适的且在有限时间熄灭的上解；另一方面,我们对问题(3)的研究包含非线性项是非Lipschitz的情形,此时的比较原理就不易证明了(即使是在很弱的情况下).为了克服上述困难,我们修正了积分估计的方法并结合常微分方程不变区域的理论证明了当非线性源项(在某种意义下)是弱的且初值u0,v0是“可比较”的时候,问题(3)的解在有限时刻熄灭.此外,对于某些特殊情形,我们通过单调迭代技术也得到了一个不熄灭的结果.这部分的主要结果如下：定理7.假设mn(p-1)(q-1)<αβ.(Ⅰ)如果αβ≤1且对某个0<δ1<1,初值(u0,v0)满足则问题(3)的任意解都在有限时刻熄灭;(Ⅱ)如果αβ>1且对某个0<δ2<1,初值(u0,v0)满足则对充分小的初值,问题(3)的任意解都在有限时刻熄灭.这里的常数ai,bi,a’i,b’i>0(i=1,2),s,r,s’,r’>1,0<α1≤α和0<β1≤β将在证明中给出.定理8.设mn(p-1)(q-1)<αβ,且|Ω|适当小.则当初值适当小时,问题(3)至少存在一个熄灭解.定理9.假设p=g>1,0<α≤n(p-1),0<β≤m(p-1),αβ<mn(p-1)2.则对于任意光滑正初值(u0,v0),问题(3)至少存在一个不熄灭的解.