自从进入21世纪，随着有限单群结构问题的彻底解决，群论的研究重点自然要集中到无限群。这期间，发展较快的群表示理论逐渐成为了代数学里面一个相对活跃的分支。其中特别值得一提的是已经具有了整套专业术语和相对完整理论体系的李群研究。本文将回答两个幂单矩阵何时张成幂零李代数的问题。当然，从群论本身而言，本文主要研究内容是在某生成元若当标准型的最高阶若当块不超过四阶时的二元生成自由群的幂单性与本原元幂单之间的关系。　　本文重点讨论了以下几种情况：在任意本原元素最高阶若当块不高于5阶，并且至少有一个本原元的最高阶若当块不高于2阶的二元生成矩阵群的幂单性质；任意本原元素最高阶若当块不高于4阶，并且至少有一个本原元的最高阶若当块不高于3阶的二元生成矩阵群的幂单性质；二元生成9阶矩阵群在本原元素最高阶若当块不高于4阶时的幂单性。在这些条件下，本原元素均幂单均为矩阵群幂单的充要条件，从而在相同条件下，具有线性表示的二元生成自由群也有同样的结论。这一结论是已有自由群幂单性判定条件的推广。　　本文的证明方法既有纯粹理论证明，又有基于计算机编程辅助计算的验证推导。这为该研究提供了新的思路，特别是本文中用于编程计算的方程，既是该方法运用以来各方程的继承，同时又有对其结构的统一描述。也正是基于这些新的方程，使得本文能够得到新的结论。