本文考虑大块铁磁材料磁化现象和非线性弹性材料空穴生成现象，它们都分别对应一个非凸泛函极小问题.变分直接方法表明非凸性和强非线性可能影响泛函极小问题解的存在性和正则性.有些问题在经典意义下的解不存在，其极小化序列存在越来越强的振荡；有些问题解虽然存在，却具有较强的奇性.本文所考虑的两种现象的数学模型就分别对应于以上两种情形.对大块铁磁材料模型，其经典解不存在，我们考察其Young测度解，即研究Young测度松弛模型的解.我们通过分析其解集的性质，为之构造了一个稳定有效的数值算法，该算法主要基于多点支集Young测度和人工边界非协调有限元耦合的方法.对稳定性和收敛性，我们给出严格的数值分析.其中，为更好地求解该模型的一个约束方程，即静态Maxwell方程，我们研究一个定义在无界区域上的椭圆型方程的数值算法，给出相应的非协调有限元人工边界条件方法的先验和后验误差估计.基于该后验估计，我们还构造关于Young测度松弛模型的后验估计子，并给出相应的自适应算法.对非线性弹性材料空穴生成模型，其解具有很强的奇性，使得该模型具有典型的Laurentiev现象，我们考虑一个解具有较好正则性的松弛模型.对该松弛模型，我们首先引进其梯度流方程，并用一种稳定化的非线性有限元方法求解此方程，我们分析了算法的有效性和求解过程中可能出现的问题，利用该算法，我们可计算一般的空穴生成现象.本论文中，针对我们提出的每种算法，都给出了一些数值算例，这些算例表明我们数值算法具有良好的性质，有些例子本身也具有重要的实际背景。