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Moment问题是数学学科中一个经典的研究课题，在数学诸多分支中常常遇到moment问题，在组合数学亦是如此.许多著名的组合数列具有moment性质.例如Fibonacci数形成Hamburger moment序列，Catalan数形成Stieltjes moment序列.本文研究组合序列的Hamburger moment性质和Stieltjes moment性质.具体内容如下: 第一部分研究组合序列的Hamburger moment问题.许多组合序列满足线性常系数递归关系，本文从Hankel行列式非负性的途径建立了这样的序列具有Hamburger moment性质的判断法则，由此统一地得到Fibonacci数，Pell数，Lucas数等的Hamburger moment性质.本文也引入了序列无穷凸性的概念，这是凸性的一个自然推广，通过给出一些保持序列Hamburger moment性质的算子，证明了Hamburger moment性质蕴含无穷凸性. 第二部分研究组合序列的Stieltjes moment问题.本文从正性准则、Hankel矩阵的全正性和连分式等不同途径考虑了组合序列的Stieltjes moment问题.通过正性准则给出Stieltjes moment序列与Hamburger moment序列之间的联系，利用这个关系证明了Stieltjes moment性质蕴含无穷对数凸性.利用Hankel矩阵的全正性考虑一些保持Stieltjesmoment性质的算子.通过Stieltjes moment序列的连分式刻画，对Horn的结果给出了简洁证明. 第三部分研究Catalan-like数列的moment问题.Catalan-like数列从格路计数角度统一了组合学中许多重要的序列，包括Catalan数，Motzkin数，中心Delannoy数，中心二项式（三项式）系数，大（小）Schr(o)der数等.本文建立了Catalan-like数具有Hamburger moment性质或Stieltjes moment性质的判断法则，从这样一个平台统一地得到了许多著名组合序列的moment性质.特别地，研究了Riordan-递归矩阵的第0列的Hamburger moment性质或Stieltjes moment性质，并从它的生成函数的角度给出判断第0列的moment性质的充分条件.