人们研究同宿轨分岔的问题已有很久的历史．前人从几何的观点出发，利用Poincaré映射去构造Melnikov函数，函数的零点就对应着同宿轨的保持．人们也常称该方法为Melnikov方法．后来，人们利用该方法去研究高维系统的退化同(异)宿轨分岔时就显出许多局限性．80年代初期，由S．N．Chow、J．K．Hale、P．J．Holmes、J．Mallet-Parret、J．E．Marsden和K．J．Palmer等先后发展起来的、用泛函分析的观点来处理这类问题．他们的方法是利用Fredholm更替原理来得到Melnikov型函数：1986年，C．M．Blazquez用Lyapunov-Schmidt约化的方法考虑了一类抛物型方程的同宿轨的分岔问题．在文章中，他没有考虑同宿轨是退化的情形，而且对扰动系统的周期映射也没有给出讨论。在本文第二章中，我们将研究一类抛物型方程的退化同宿轨在周期扰动下得到保持的条件．我们不仅把C．M．Blazquez的结果推广到退化同宿轨，还得到扰动系统出现混沌的一个判据．利用Fredholm更替原理，我们得到一个非线性代数方程组．方程组的零点就对应着扰动系统同宿轨得到保持和出现混沌． 关于退化偏微分方程的退化同(异)宿轨的保持性的研究，是十分重要而且困难的问题。前人研究了一类退化偏微分方程，Sobolev—Galpern方程，的解的存在性、唯一性和光滑性，但没有考虑这类方程的有界解的分岔．在本文第三章中我们就研究这个退化偏微分方程有界解的保持性．我们采用两次投影，先将齐次方程的退化部分投影掉、研究非退化部分产生的强解的存在性和唯一性，由强解定义出解算子，即发展算子；接着，将齐次方程的非退化部分的有界解和无界解投影开、研究发展算子的指数二分性．利用指数二分性，研究非齐次方程的Fredholm更替性定理．在最后我们将研究退化非线性Sobolev-Galpern方程的退化同(异)宿轨的分岔问题，给出有界解得到保持的一个判据。 在考虑有界解的分岔问题时前人解决了这样一个问题：在同宿轨是退化的情况下给出扰动系统的0/1分岔，即扰动系统要么不存在要么存在有界解．但不清楚带退化同宿轨的系统到底能扰动出多少个线性独立的同宿轨．在本文第四章中，我们给出了扰动系统出现多个同宿轨的一个判据．实际上，如果未绕系统沿同宿轨的线性变分方程的有界解个数为d，我们证明了在无穷维空间中存在d个余维为kd的通过零点的分岔流形使得当扰动函数任意取自于零点附近的集合时，扰动系统一定会出现尼个线性无关的同宿轨．我们的结果推广了扰动系统出现0/1分岔的结果，解决了扰动系统多个线性无关有界解并存的问题． 近年来，关于从同宿轨分岔出次调和解的问题引起很多学者的兴趣。在同宿轨是非退化的情况下，他们研究了偏微分方程、时滞微分方程的次调和分岔。也有学者研究了常微分方程的退化同宿轨分岔出次调和解的问题．但他们的方法不能用去研究耦合方程的次调和分岔．本文第五章中，我们将研究弱耦合方程组在退化同宿轨附近如何分岔出周期解．我们的方法是：先将方程组分成快和慢系统，将慢系统的解用快系统的解表示出来，实现了方程的解耦；再考虑带退化同宿轨的快系统．我们得到了当耦合系统的同宿轨破裂时，在适当条件下能分岔出次调和解的判别条件，从而解决了耦合方程的次调和分岔问题。 中心构型的分岔问题是十分重要的，该问题与中心构型的个数有关．前人发现了金字塔形的中心构型，也发现了由两个正多边形套的中心构型的分岔，但由他们的结果不清楚金字塔形的中心构型是否会发生分岔．本文第六章将研究这个问题．我们把中心构型的存在性问题转化为研究向量场平衡点的问题，证明了当N≤472时，存在一对非平面中心构型；但当N≥473时，非平面的金字塔形的中心构型不存在．这个结果与R．Moeckel和C．Simo在1995年发现的结果很不一样．因为他们文章的结果表明，对N≥473时，两层套的空间中心构型能从平面分岔而来．