小波分析是近20年多年来,许多科学家和工程师关注的一个非常热门的话题,被称为”数学的显微镜”。它是继Fourier分析之后的一个突破性进展,能更好的解决许多Fourier变换解决不好的问题,是当前数学领域中发展十分迅速的新方向。小波分析给许多领域带来了新的思想,提供了有力的工具,是纯粹数学和应用数学相结合的典范,从1994年国内研究小波的高潮时期到现在,小波在信号分析,神经网络、模式识别、故障诊断、语音合成、分形力学、方程求解、石油地质勘探等方面都取得了许多重要的成果。现在,探讨小波的新理论、新方法和新应用,已经成为当前数学和工程领域中一个非常富有挑战性的课题。DaubechiesI在专著《小波十讲》中指出：L2(R)中的连续小波变换的像空间是一个闭子空间L2(R×R;α-2dadx),它是一个再生核Hilbert空间。再生核Hilbert空间的元素都可以由该空间的再生核函数表示。具体来说,尺度和平移均连续变化的小波基函数是一种基,我们可以用再生核函数来描述两个基函数的相关度的大小,由该重建核可知,连续小波是一种冗余度很高的基。因此,小波变换中存在信息的冗余性,小波展开系数之间具有相关关系,而再生核是小波变换的基础,再生核度量了每个小波的空间和尺度的选择,因此将非常有助于选择最适于给定问题的小波。同时,小波基函数是相关的,这就意味着在不同点(a,x)和(a’x’)的小波Twav(α,x)和Twav(α’,x’)的展开系数之间是有相关关系的。这与小波变换的像空间是再生核空间这一基本的事实是一致的。综上所述,对于任意一个随机信号，其连续小波变换在像空间中相关区域的大小可由再生核给出，即其中为小波可容许性条件。并且，随着尺度的减小，连续小波变换在像空间中相关区域减小。由此可知，对于不同的小波基，其再生核函数决定了不同的小波变换的像空间。可见，再生核函数是确定小波基函数性质的有力工具。因而，人们可以从小波基函数的再生核函数出发讨论其基本性质。因此，我们可以通过连续小波变换像空间的再生核函数，去研究该像空间的有关性质。并利用再生核的相关理论得到该空间的等距变换，反演公式，采样定理，从而更好的认识该像空间，以便为我们寻找合适的小波基提供依据。这是从再生核Hilbert空间的角度来讨论小波分析相关问题的一个很好的尝试。本论文主要研究了复的高斯小波变换像空间的再生核函数和一类复的小波变换像空间的再生核函数，并针对再生核的性质分别给出了该像空间的等距变换，反演公式，采样定理。论文主要分为四部分：前两章是论文的基础，主要介绍了小波分析和再生核理论的概述，同时给出了本文内容的研究背景、意义和研究的主要内容，之后对目前利用再生核讨论小波变换像空间的研究结果做了简要的综述，并给出了和本文相关的再生核与小波变换的预备知识。最后一章为论文的结论与展望。论文的核心部分为论文的第三章和第四章，主要的内容如下：一、复高斯小波变换像空间的等距变换、反演公式和采样定理这一部分主要针对复的高斯小波变换像空间进行讨论研究，得到了该小波变换像空间的再生核函数，并利用再生核的具体性质得到了该空间的等距变换，反演公式，采样定理。具体包含以下内容：1.小波变换像空间的简单描述设ψ(t)是一个平方可积的函数，即ψ(t)满足条件ψ(t)∈L2(R)，定义ψ(t)的Fourier变换为若ψ(ω)满足可容许性条件则称ψ(t)为小波母函数或基本小波函数.这里要求我们考虑由基本小波函数ψ(t)经过平移和伸缩之后得到的小波函数系(?)a,x(t)则可知(?)a,x(t)与ψ(t)在L2(R)中的范数相等,即有由小波函数系(?)a,x(t)给出的连续小波变换为对于上述小波变换公式,有如下内积定理：即因此,连续小波变换的再生核函数可由下式表示：由再生核理论可知,一个正定矩阵K(a,x;a’,x’)可以唯一确定一个以K(a,x;a’,x’)为再生核的Hilbert空间Hk,而这个再生核Hilbert空间Hk就是上述的连续小波变换的像空间.经证实这个空间是L2(R)的一个子空间,而我们感兴趣的正是这个空间。2. Cgau小波变换及其像空间复高斯小波母函数为其Fourier变换是易知ψ(x)满足可容许条件。Cgau小波波形实部如图1所示,虚部如图2所示图1Cgau小波变换实部Cgau连续小波函数为对(?)f∈L2(R),Cgau小波变换为图2Cgau小波变换虚部3.Cgau小波变换像空间的再生核函数为了得到Cgau小波变换像空间的再生核函数,我们利用小波变换的冗余性,同时再考虑a的对称性,当a>0时,将式(7)推广为其中f∈L2(R),并记小波变换式(8)的像空间为H,其中A=a+bi.Z=x yi,a,b,x,y∈R,a>0小波变换式(8)的像空间H的再生核为其中A’=a’+b’i,Z’=x’+y’i,a’,b’,x’,y’∈R,a’>0由此我们可以得到定理3.4小波变换式(8)的像空间的再生核函数为其中由上面再生核函数K(A,Z;A’,Z’)的具体表达式,可知K(A,Z;A’,Z’)作为(A,Z)的函数在△(π/4)×C上是解析的,并且作为(A’,Z’)的函数在△(π/4)×C上是反解析的.因此L2(R)中的小波变换式(5)的像(Twav f)(a,x)可以被解析延拓到空间△(π/4)×C上,形式为(Twav f)(A,Z),像(Twav f)(A,z)是具有定理2.1中再生核K(A,Z；A’,Z’)的Hilbert函数空间H的元素.更进一步地,因为在H中是完备的,所以有等距恒等式结合式(5),进一步可得到恒等式小波变换式(5)的像(Twav f)(a,x)被解析延拓到空间△(π/4)×C上后,成为小波变换式(8),(Twav f)(A,Z)的范数由式(11)给出.对于小波变换式(6)的像空间H的再生核函数K(A,Z；A’,Z’)来说,尽管其表达式并不简单,但是定义在△(π/4)×C上的小波变换式(8)的范数仍可由定义在R+×R上的(Twav f)(a,x)给出,因此式(11)是一个非常有意义的恒等式.4.固定尺度因子时Cgau小波变换像空间具体描述由再生核的性质可知,对于E上的再生核Hilbert空间Hk和E上任意的非零的复值函数s(p),是Hilbert空间Hks的再生核,其中Hk是由E上所有形如下式的函数fs(p)构成并且,Hk具有如下内积同时,Hilbert函数空间J(λ)(λ>0)为具有有限范数的所有整函数f(z)在该范数意义下构成的Hilbert函数空间,且C×C上的二元函数eλux即对空间中的任意一个元f(z)∈(?)(λ)及z∈C,u∈C有f(u)=<f(z),eλuz>这个空间称为Fock空间.在3.2节中,我们利用上述再生核性质并Fock核与Fock空间,得到了Cgau小波变换像空间的有限范数,等距变换.定理3.5若记KF(λ)(Z,Z’)=(?)2/2C2(a2+b2)3/2(a2-b2)-1/2(?)(πexp){-1/2+[a+(Z-Z’)i]2/2(a2-b2)}则KF(λ)为具有有限范数(12)的所有整函数h(z)在该范数意义下构成的Hilbert空间KF(λ)的再生核.并且Cgau小波变换像空间Hk△具有有限的范数定理3.6对于任意固定的A∈△(π/4),Cgau小波变换的像(Twac f)(A,Z)对f∈L2(R)满足则进一步有等距恒等式小波变换像空间的反演公式是一个难点,我们引入热传导方程(13)的解为(14)其中f∈L2(R).并把像u(x,t)解析延拓到C上,再利用已有的等距恒等式,推广到一般的讨论得到定理3.9在小波变换公式(8)中,对任意固定的A∈△(π/4),对C的任意紧穷举序列{EN},N=1,2…∞可得反演公式二、一类复小波变换像空间的等距变换和反演公式这一部分把第三章进行了推广,得到了一类复的小波变换像空间的再生核函数。并利用再生核的具体性质得到了该类空间的等距变换,反演公式。主要内容如下：1.一族复小波变换及其像空间首先,我们利用卷积来得到基本小波函数定理4.2令ψ(t)是一个基本小波,9(t)∈L1(R)是有界函数,那么它们的卷积ψ*g(t)是一个基本小波函数.再利用上述定理得到如下命题：命题4.3令f(t)=e-it-2t2,g(t)=f(k-1)(t)此时k∈Z+是一个正整数,并令Φ1(t)=e-it-2t2(-i-4t)那么卷积函数Φ(t)=Φ1*9(t)是一个基本小波函数.在这里k取不同值的时候,可以得到一类小波函数族.例如利用ψ(t)的Fourier变换可知当k=1时,ψ(t)是cgau小波(复Gauss小波)函数当k=2时,ψ(t)是复Mexihat小波函数由于a的对称性,我们只考虑a>0的情况.然后我们考虑如下的复数情况下的小波变换或者此时A=a+bi,z=x+yi,a,b,x,y∈R,a>0并且ψ(t)是命题4.3中的小波函数.利用小波变换的冗余性,再生核函数的正定性,通过进一步计算可得这一类复小波族像空间的再生核函数.定理4.4小波变换(8)的像空间的再生核函数由下式给出K(A,z;A’,z’)此时,k∈z+在4.1里,为了进一步描述这一类复的小波变换像空间,我们通过严格的数学推导得到了下面的结论.引理4.5此时D≠0,D∈C.有了上述的结论,再通过严格的推导我们得到了定理4.6小波变换(8)的像空间的再生核函数表达式可以进一步写成如下形式此时A,A’∈△(π/4)={Allnr9Al<π/4),z,z’∈C,K∈Z+公式(20)显示了K(A,z;A’,z’)作为(A,z)的函数在△(π/4)×C上是解析的,作为在(A’,z’)的函数在△(π/4)×C上是反解析的.特别是对于f∈L2(R)上的函数,我们可以知道小波变换的像(Twav f)(a,x)能够以(Twav f)(A,z)的形式被解析延拓到空间△(π/4)×C上.并且小波变换的像(Twav f)(a,x)可以作为具有再生核(18)的再生核Hilbert空间Hk的元来描述.2.固定尺度因子时,一族复小波变换像空间的描述现在我们考虑在A∈△(π/4)上的小波变换,固定尺度因子令A=A’时,我们将式(10)中的再生核函数K(A,z；A’,Z’)记作KA(Z,Z’),即有当固定的A∈△(π/4)时,对于f∈L2(R)的小波变换(8)的像做为Hilbert空间HkA中的元素来描述,其中HkA是具有再生核(12)的整函数所构成的Hilbert空间.进一步描述该类空间,我们得到了如下的定理：定理4.7令则函数KF(λ)(Z,Z’)为具有有限范数的所有整函数h(z)在该范数意义下构成的Hilbert空间HF(λ)的再生核,并且这一族小波变换像空间HkA具有有限的范数定理4.8对任意固定的A∈△(π/4),K∈Z+一族复小波变换的像(Twav f)A(z)满足下式更进一步,可得如下的等距恒等式定理4.11对任意固定的A∈△(π/4),k∈Z+,,对f∈L2(R),()的像(Twav f)A(x)的性质由C∞(R)的性质确定.那么我们得到如下等距恒等式其中目定理4.12在小波变换(8)中,对任意固定的A∈△(π/4),k∈Z+,我们有如下一族复小波变换的反演公式对C上的任意的穷举序列{EN}∞N=1,有在L2(R)上强收敛.