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本文主要研究一类特殊的完全耦合的带反射的正倒向随机微分方程(简记RFBSDE)解的存在唯一性,以及此类方程与一类拟线性抛物型偏微分方程(简记PDE)的关系。
形如Yt=ζ+∫T t f(s,Ys,Zs)ds-∫T tZsdBs,0≤t≤T的方程由Pardoux和Peng于1990年在[38]中首先介绍的,被称为倒向随机微分方程(简记BSDE),他们证明了系数满足Lipschitz条件时非线性BSDE解的存在唯一性,此后,BSDE成为一个迅速发展的研究方向,这一理论广泛应用于金融数学、随机最优控制及偏微分方程等领域。
1997年,El Karoui,Kapoudjian,Pardoux,Peng和Quenez等人在[25]中首次提出了带反射的倒向随机微分方程(简记RBSDE)的概念,也就是说,BSDE中有一个增过程K,K产生一个向上的“推力”,使得方程的解恰好始终位于一给定连续随机过程(称为障碍)的上方,且“推力”最小,方程形式为:{Yt=ζ+∫T t f(s,Ys,Zs)ds+KT-Kt-∫T t ZsdBs,Yt≥Lt,∫T0(Yt-Lt)dKt=0,K∈S2ci(0,T;R),同样,在Lipschtiz条件下他们证明了解的存在唯一性及相应的比较定理,且在Markovian框架下,证明了解耦情况下RBSDE的解可表示为一类偏微分方程(简记PDE)障碍问题的粘性解。
同时,正倒向随机微分方程(简记FBSDE)的研究也出现了大量文章,1993年,Antonelli在[1]中研究了完全耦合的FBSDE,并给出当区间T足够小时,FBSDE的解具有存在唯一性。在此类方程系数是确定性的并且光滑以及非退化扩散项的情况下,1994年,Ma、Protter和Yong在[33]中详细介绍了称作“四步方法”的证明存在唯一性的方法。在没有正向随机微分方程扩散系数非退化条件的假设下,1995年,Hu和Peng在[13]中证明了X和Y在同维情况下,当系数满足一般Lipschitz条件和特定单调性条件时,FBSDE的解是存在唯一的。1999年,Wu和Peng[41]得到了X和Y不同维情况且减弱这个特定的单调性条件时FBSDE解的存在唯一性。1997年,Antonelli和Hamadene在[2]中给出连续系数条件下一类特殊形式的完全耦合FBSDE解的存在性结果,方程形式为:{Xt=x+∫t0 b(s,Xs,Ys)ds+∫t0σ(s,Xs)dBs,Yt=ζ+∫T t f(s,Xs,Ys,Zs)ds-∫T t ZsdBs,0≤t≤T.通过构造两个递增序列分别对正向与倒向方程的解进行逼近;2008年,Huang在[20]中用类似的方法得到连续系数条件下带反射的FBSDE解的存在性,她所研究的方程形式如下:{Xt=x+∫t0 b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫t0σ(s,Xs)dBs,Yt=ζ+∫T t f(s,Xs,Ys,Zs)ds+KT-Kt-∫T t ZsdBs,0≤t≤T.Yt=≥Lt,∫T0(Yt-Lt)dKt=0,K∈S2 ci(0,T;R)迄今为止,由于问题的复杂性,尚未有人得到此类方程解的唯一性结论,在本文中,我们研究了一种特殊情况下的唯一性条件,为进一步研究RFBSDE与偏微分方程障碍问题粘性解的联系,我们需考虑障碍过程为h(t,Xt)型的情况,因此本文研究的障碍Lt:=h(t,Xt)与正向方程的解相关联,研究方程的形式为:{Xt=x+∫t0 b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫t0σ(s,Xs)dBs,Yt=ψ(XT)+∫T t f(s,Xs,Ys,Zs)ds+KT-Kt-∫T t ZsdBs,0≤t≤T,Yt≥h(t,Xt),∫T0(Yt-h(t,Xt))dKt=0,-K∈S2 ci(0;T;R).我们将采用与Antonelli,Hamadene和Huang相似的方法构造两个单调序列分别对SDE以及RBSDE的解进行逼近来研究上述方程解的存在性定理,其中,假设h,Ψ满足:
(i)h,Ψ关于x为线性增长的增函数;
(ii)|h(s,x1)-h(x2)|≤M|x|-x2|,对所有s∈[0,T],ω∈Ω,以及x1,X2∈R;此后,我们给出拟单调性条件:对(∨)t∈[0,T],x1,x2,y1,y2,z1,z2∈R,满足:(B1)存在常数C1＞0,s.t.
α(Ψ(x1)-Ψ(x2))(x1-x2)-1/2(Ψ(x1)-Ψ(x2)2≥C1|x1-x2|2.(B2)存在常数C2＞0,s.t.
(Fα(t,x1,y1,z1)-Fα(t,x2,y2,z2),(x1,y1,z1)-(x2,y2,z2))≤-C2(|x1-x2|2+|y1-y2|2+|z1-z2|2).
研究了一类特殊形式RFBSDE的唯一性定理和相应的比较定理{Xt=x+∫t0 b(s,Xs,Ys)ds+∫t0σ(s,Xs)dBs,Yt=Ψ(XT)+∫T t f(s,Xs,Ys,Zs)ds+Kt-Kt-∫T t ZsdBs,Yt≥(ψ)(t)+αXt,∫T0(Yt-(ψ(t)+αXt))dKt=0,K∈S2 ci(0,T:R).
最后,我们应用反证法证明RFBSDE的解Yt t,x是一类拟线性抛物型PDE{min(u(t,x)-ψ(t)-ax,-(δ)u/(δ)t(t,x)-Ltu(t,x)f(t,x,u)(t,x),(δ)u/(δ)xσ(t,x)))=0,u(T,x)=Ψ(x)的粘性解u(t,x).
本文共分为五章:
第一章:引言:
第二章:预备知识,将简述本文在证明过程中所应用到的SDE,BSDE及FBSDE中的许多定理;
第三章:一类完全耦合带反射正倒向随机微分方程解的情况,是本篇文章的主要部分,本章分为三部分:第一部分应用类似Antonelli,Hamadene和Huang的方法证明方程解的存在性;第二部分给出在拟单调性条件下,证明了一类特殊形式的RFBSDE解的唯一性;第三部分说明相应的比较定理;
第四章:RFBSDE与相应偏微分方程粘性解的联系;
第五章:总结以及进一步研究内容。