人们一直都很重视传染病的预防与控制,因为它一旦失控,轻则危及人的生命,重则影响种族延续和国家的存亡。传染病的防控不仅是公共卫生问题,更是公共安全问题,不仅应该从医学角度研究,还要从疾病传播规律角度入手来预防和控制其传播。目前,对像SARS禽流感等具高致病性的特大型流行病,人们还缺乏对其的认识和了解,找不到能有效对抗此类疾病的药物。在这种情况下,研究其传播规律,通过人为干预来切断疾病的传播途径就显得尤为重要。通过建立数学模型来研究此类疾病的传播规律不失为一个行之有效的办法。为了更加准确地刻画具有危害性大,传播速度快,对种群生态系统破坏严重等特点的疾病的传播规律,本文采用了带有L′evy跳噪音的随机模型。具体研究工作如下:1.带L′evy跳的SIR模型研究,它用于描述类似于SARS和禽流感这样的具有高致病性特征的疾病的传播规律。本文通过两种干扰方式得到了两个不同的随机模型,利用随机分析的知识和Lyapunov方法分别研究这两个模型。首先,证明了第一个模型的解过程的全局正性;在随机干扰强度不太大的情况下,给出了该模型的解过程和与其对应的确定性模型的平衡点之间的关系。其次,证明了第二个模型的平衡点的随机渐近稳定性。最后,通过数值模拟给出了定理的实际背景解释。2.带L′evy跳的随机SEIR模型研究。为了更加准确地刻画由医疗事故等原因所引起的带有潜伏期的疾病的大范围传播问题,本文采用了两种不同的干扰方式分别得到了两个随机系统。在第一种随机扰动下,利用Lyapunov函数和带跳的It?o公式得到了该系统正解的全局性和在时间平均意义下的解的稳定性。找到了带有L′evy跳的SEIR模型与其对应的确定性模型的关系,给出了传染病灭绝和持续传播的充分条件。在另一种扰动下,利用随机分析的知识和Lyapunov方法证明了该系统的正平衡点是随机渐近稳定的,给出了传染病持续传播的充分条件。通过数值仿真进一步验证了定理的正确性。3.L′evy噪音驱动的艾滋病传播模型研究。它用于描述由吸毒、医疗事故等原因所造成的艾滋病大范围传播的问题。模型根据患者的个体差异对被感染人群进行了分类,利用Lyapunov函数和It?o公式等工具分析了由确定性模型成比例的加入L′evy噪音干扰后所得到的模型。证明了该系统正解的全局性;在此基础上得到了其正解的在时间平均意义下的稳定性。给出了在随机干扰强度不太大的情况下,艾滋病灭绝和持续传播条件。另外,本文通过围绕原系统的流行病平衡点加入了L′evy跳干扰,从而得到了另一个模型,通过分析找到了流行病平衡点随机渐近稳定的充分条件,并给出了数值仿真。以上的研究结果,给出了艾滋病大范围传播的动力学性质。这对于防控由吸毒、医疗事故等原因所导致的艾滋病的传播是有重要意义的。带L′evy跳的随机传染病模型能够很好的反映这种具有高致病性、传播速度快、波及范围广、对种群系统破坏力强等特点的疾病的传播规律。所以此项研究对于相关部门预防和控制大型疫病的传播是非常有帮助的。