本论文主要关注的是利用几何学和拓扑学的方法刻画和理解DNA多面体分子的结构、性质以及自组装机理,以达到为实验科学家提供更加新颖的合成目标和理论指导的目的。传统思维中,DNA仅仅被视为携带遗传信息的生物大分子,而随着DNA多面体的横空出世,这一观念被彻底颠覆。DNA不仅仅是遗传信息的载体,而且是合成纳米材料的理想原材料,各种各样的DNA纳米结构如雨后春笋般在实验室中诞生了。实验工作的飞速发展,必然要求理论工作快速跟进。然而对于这类非传统意义的大分子结构,传统的化学理论显然有些跟不上节奏了。因此,寻找新的理论模型成为理论科学家面临的挑战和机遇,多面体链环模型就是在这种情形下诞生的。如果不考虑DNA链的厚度,仅仅用线条去模拟DNA多面体分子,就可以得到一系列的DNA多面体链环,通过研究链环的结构、性质以及构筑机理就可以准确描述DNA多面体分子的自组装机理。基于多面体链环模型研究DNA多面体的自组装机理,有三方面的内容是重中之重,即：构成DNA多面体所需的分支数,构成DNA多面体所需的组分数,DNA多面体背后隐藏的规律及分子设计。对这三个问题的探究形成了本文的主线,我们主要的研究工作也是围绕着这三个问题展开的。1分支数的研究目前,绝大多数已知的DNA多面体每条边上均被偶数次扭曲的双螺旋覆盖,即每个面被一条DNA单链覆盖,这就导致每个分子都是由F(多面体面数)个分支构成的。那么,如何得到分支最少的DNA多面体便变得十分有趣了。通过引入奇数次半扭曲边和改变顶点构型,我们成功地构筑了谢宾斯基链环和纽结,得到了一系列由较少分支数构成的拓扑结构。Ⅱ组分数的研究无论是采用传统的“分支结构”法还是“星状结构”法合成DNA多面体,所得到的结果均包含多个组分链。很早之前,就有科学家设想用最少的组分链合成DNA多面体分子,但是一直未能实现。回文序列是一类具有特殊对称性的序列,如果用这样一类序列替换普通的序列,就可以大大降低合成DNA多面体结构所需的组分数。通过引入自配对的回文序列,我们成功地将合成DNA多面体所需的组分数降低到了最少,等于构成对应几何体的面的种类数。111分子设计科学家们已经发现已知的DNA多面体满足一个非常优美简洁的公式,而且证实了已知的多面体分子完全同胚于球面,即它们的亏格为0。那么,如何构筑亏格大于零的DNA多面体分子就成了新的挑战。通过引入奇数次半扭曲边,改变顶点构型以及在曲面上构筑链环,我们成功地构筑了一系列亏格大于零的奇异分子。我们的工作仅仅是在DNA纳米领域做了一次初步的探索,未来的工作将更加艰巨而重要!希望我们的研究结果能够为DNA立体结构的合成提供新颖的目标,早日在实验中得到实践和应用!