【摘 要】
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自从上世纪40年代以来，线性保持问题逐渐成为矩阵理论研究中非常活跃的课题.很多数学家已经对矩阵空间上的多种保持问题进行了深入的研究，保可逆问题的研究在其中占有重要地位.
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自从上世纪40年代以来，线性保持问题逐渐成为矩阵理论研究中非常活跃的课题.很多数学家已经对矩阵空间上的多种保持问题进行了深入的研究，保可逆问题的研究在其中占有重要地位.本文首先介绍了保持问题的国内外发展现状，后又介绍了关于可逆性保持和秩等式保持问题的研究现状.第二章给出了特征为零的域上对称矩阵空间保奇异的加法几乎满射以及保可逆加法满射的刻画.做为这些结果的应用，本篇论文在第三章分别刻画了特征为零的域上对称矩阵空间Sn(F)上保如下秩等式的加法满射(φ):(1)r(AB)=r(A)+r(B)-n,(2)r(AB)=r(A)，(3)r(ABA)=r(A)，(4)r(ABA)=r(B).最后得到(φ)均是以下形式:(φ)(A)=cQAδQT,(V)A∈Sn(F)且QQT=aI.其中Q∈GLn(F)，c，a∈F,且c≠0，a≠0，δ为域F的自同构.
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