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局部Lorentz不变与CPT不变一起构成了所有现代物理学的基础。而当今物理实验对这两者的破缺程度给出了很严格的限制。但与此同时,有诸多细微现象都似乎在表示一件事情,那就是Lorentz对称性与CPT对称性很可能是破缺的。因而,寻找这种可能的破缺,并且给出匹配的合理的物理图景,将是一件很有意义的事情。自从06年Cohen与Glashow在[1]中提出了Lorentz破缺图景下的物理概念后,许多基于这种物理思想的构造方式被提出。本文将他们的思想与Finsler几何做结合,试图给出Finsler几何与Lorentz破缺之间的联系,并且给出Finsler时空上的物理。
首先从对称性破缺出发,我们选择Lorentz李代数的四元素子代数与三元素子代数作为破缺后时空的原始局部对称性,随后将它们与时空平移李代数做半直积,再将其形变,从而得到Lorentz破缺时空的对称性。在得到上述李代数结构后,找出相应的矩阵表示,通过Killing矢量场方程来得到平直的Finsler-Minkowski几何的度量函数,该度量函数在上述形变群作用下是不变的,从而反应了时空具有相应的对称性。
在得到了所需的背景Finsler时空后,我们将给出这种时空中的点粒子作用量,从而得到点粒子在所选定Finsler时空上的色散关系。在这里,我们将看到,Finsler时空可以看作是平直时空上加上了某种相互作用势,因而可以将Finsler几何视为某种具体的动力学模型
最后,在获得了Finsler时空中的点粒子作用量与色散关系后,我们可以设法构造出Finsler时空中的经典场的作用量,包括标量场、旋量场与矢量场。而同时,如果我们要求规范对称性依然成立,那么我们也将得到Finsler时空中的规范相互作用。同时,我们也会看到,Finsler时空中的场会展现出一些很不同的性质。场的相互作用大多都是非定域,这种非定域性也可以看作是对场以及场的质量做了某种特殊的“类重整化”修正。而另外一类特殊的Finsler时空也将为规范场提供“质量”。
本文只是在经典物理的范围来探讨Lorentz破缺的物理与Finsler物理。对于物理上不可或缺的量子化,这里并没有涉及。Finsler几何在物理上的应用目前仍很有限。通过本文有限的尝试,我们看到Finsler几何在物理上会引起不少新奇的行为。相信以后随着对Finsler几何在物理上的不断渗入,我们会看到更多有趣的Finsler物理行为。