小波分析一直以来被冠以“数学显微镜”,当利用小波对信号实施时频分析时,能够使得信号同时具有时间和频率两个方面的局部特性,并可以对其进行多分辨分析.该性质对于处理离散数据方面的问题变得相对比较容易,因而小波分析在信号分析和图像处理等方面得到了较为广泛的应用,比如:滤波、分类、识别、传递、去噪、压缩、诊断等.自然界中存在着许多不规则的事物,其形状具有整体和局部的自相似性的特征,那么它们的复杂性就非常适合运用分形理论来进行模拟.因此将分形和小波理论结合起来,对于解决实际生活中的问题具有非常重要的意义.本文主要是研究分形集上信号的分解与重构算法,以及三类比较特殊的函数,为以后的应用打下坚实的理论基础.目前已有学者探究了 p-adic Vilenkin群上的正交小波、框架小波及其构造算法,以及其上的多分辨分析理论,本文通过概括总结小波函数已有的研究成果,介绍了 p-adic Vilenkin群上的Fourier-Walsh变换,并选取了具有对称性、紧支撑性、正交性等良好的特性的Haar小波,对p-adic Vilekin群上的多分辨分析理论进行了具体的讲述.在处理信号方面,研究了Vilenkin群上信号的分解与重构算法,以便更好地了解信号的局部特性,更加快速准确地提取出信号中部分有用的信息.并将其推广到了二维空间上,讨论了二维多分辨分析方法,运用基于P = 2的Vilenkin群(康托尔二元群)的二维小波变换进行二维信号的分解以及利用二维小波反变换进行的重构信号算法.只有了解了信号的独特性质才能够更好地处理信号,解决生活中的实际问题.文章分别对p-adic Vilenkin群上的局部为常函数并且以1为周期的函数、分段常函数以及局部为常函数并且具有紧支撑性的函数进行了具体的分析,介绍了各自所具有的性质,深入研究了周期广义函数及其Walsh表达式,阶梯广义函数的阶梯表达式,以及调和广义函数的quasi-Haar表达式及其性质.