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组合数学是数学的一个分支。在日常生活中经常会遇到组合数学的问题，诸如金融分析、投资方案的确定、运筹规划、计算机科学、信息论、控制论、网络算法和分析等等。图论与非负矩阵理论是组合数学中的两个主要研究内容，这两个内容有着密切的联系。非负矩阵A可以与它所对应的伴随有向图D(A)建立一一对应关系，这样就可以利用图论的知识来解决非负矩阵的一些问题。
本文主要研究了一类单双圈间隔的双色有向圈、一类有环的双色有向圈和一类含有两个三圈的三色有向图的。主要内容为：
第一章首先介绍了图和非负矩阵的相关概念知识。由图与非负矩阵的关系引入了有向图的本原性与本原指数的相关知识及其在国内外研究概况，提出了本文所做的工作。
第二章讨论了一类单双圈间隔的双色有向圈，它的未着色图含有一个n-圈和n-1/2个2-圈，给出了本原条件和本原指数上界，并对达到本原指数上界的极图进行了刻划。
第三章考虑一类有环的双色有向圈，它的未着色图包含一个n-圈和n个环，给出了本原条件并得到本原指数上界。
第四章考虑一类特殊三色有向图，它的未着色图恰含一个3m+1-圈和两个3-圈，研究了该图的本原性，并给出了本原指数的一个可达的上界，