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本文主要讨论H-Hopf模余代数的结构,H-Hopf双模余代数范畴与余代数范畴的等价关系以及Yetter-Drinfeld模范畴上的余代数与H-余交换之间的关系.全文共分三部分.
第一节,首先引进右H-Hopf模余代数的概念(定义1.1.5),并给出了右H-模余代数成为右H-Hopf模余代数的一个充要条件(定理1.2.3).其次,讨论了右H-模余代数的几个性质.设H为Hopf代数,B为右H-模余代数,B=B/BH+(其中H+=KerεH),则B是余代数(命题1.3.1).定义B的左H-余模结构使其成为左H-余模余代数(命题1.3.4),从而有Smash余积B×H,而且进一步得到B×H为右H-Hopf模余代数(定理1.3.5).最后,利用Smash余积研究右H-Hopf模余代数的结构,得到其结构定理(定理1.3.6):设H为Hopf代数,B为右H-Hopf模余代数,B=B/BH+,则作为右H-Hopf模余代数,有B≌B×H.
第二节,结合H-模余代数,余代数H-余模和Hopf模三个概念,引入了H-Hopf双模余代数的概念(定义2.1.3).设Hopf代数H是余交换的,C是余代数右H-余模,首先构造了C()H的右H-模,右H-余模结构,并证明了C()H是右H-Hopf双模余代数(命题2.2.4).同时还证明了任何一个H-Hopf双模余代数都同构于某个C()H(定理2.2.7),由此得到H-Hopf双模余代数范畴等价于余代数范畴(定理2.2.10):设H为余交换Hopf代数,则有范畴等价MH≈C.同理有,HM≈C.
第三节,首先给出了Yetter-Drinfeld模范畴上的余代数与H-余交换的概念,然后讨论了对于给定的一个余代数B,在什么条件下成为Yetter-Drinfeld模范畴上的余代数(定理3.2.2).最后研究它与H-余交换之间的关系,证明了有大量的Yetter-Drinfeld模存在,并给出了一类Yetter-Drinfeld模范畴上的余代数(定理3.2.3).