本文采用变分(variational)和偏微分方程(partial differential equation，PDE)作为工具来研究低层图像处理中的两个重要问题——图像去噪与图像修复。它们都涉及由退化的噪声图像或破损图像来估计未退化图像,显然,图像去噪与图像修复都是逆问题并且是非适定的,因为我们通常无法获得足够的信息(或者说充分必要条件)来保证原始图像能够被唯一正确地恢复。　　PDE进入这些领域应归功于Koenderink和Witkin的奠基性工作。Koenderink指出高斯滤波是常见的PDE——热方程的解,以此建立了PDE同经典线性卷积滤波的联系。该思想同Witkin提出的尺度空间(scale space)概念结合建立了PDE图像处理的基础。PDE是数学的最重要部分之一,PDE解的计算是当前科学计算(scientific computing)中主要关注的问题,它的注入,使传统图像处理采用的数学工具突破了十九世纪数学子集的范畴,成为图像处理中活跃的现代研究工具之一。　　本文的主要工作及创新成果如下:　　首先,本文在分析讨论变分PDE图像去噪模型变分(variational)表达、散度(divergence)算子表达和迹(trace)算子表达不同去噪行为描述特性的基础上,通过推导它们在线性和非线性情况下的相互转换条件和转换关系,建立了对变分PDE图像去噪模型依赖于上述三种表达的从全局到局部或反过来从局部到全局的分层次分析方法。这三类表达对去噪行为的描述依次从全局逐渐过渡到局部且前一类可看成是后一类的子集,相应的模型设计灵活性也逐步增加。这种分层次的分析方法不仅可帮助我们从不同的层次和物理背景来分析理解模型的去噪行为,还可以进一步帮助设计出更加高效的去噪模型。　　在上述分层次分析方法的支撑下,提出了一种综合全局和局部描述优点的去噪模型——结合约束项的方向性1D Laplacians去噪模型。方向性1D Laplacians去噪模型是一种基于迹算子的模型,其可方便地描述模型的局部行为并具有很高的模型设计灵活性,但与大多数基于直接PDE的去噪模型一样,该模型不能自动收敛到一个最优状态,而是随着平滑的进行产生一个由细到粗的尺度空间。而基于变分表达的模型具有明显的全局意义,因此可方便地引入全局约束项,借助正则化项和约束项的相互作用,该类模型可自动收敛到一个最优状态。通过分析变分表达与迹算子表达间转换关系,本文将变分表达中的全局噪声约束引入方向性1D Laplacians去噪模型,这样不仅克服了其不能自动收敛的缺点,还进一步增强了其去噪性能。　　在图像修复领域中,虽然近年来已经有一些基于变分和PDE的图像修复算法相继提出,但在这些算法中模型的建立背景、数学描述形式及分析方法各不相同,难以统一地、有效地分析它们的修复性能。本论文在对变分PDE图像去噪和修复联系与区别讨论的基础上,进一步将上述对图像去噪模型的分层次分析方法扩展到了图像修复领域,建立了对变分PDE图像去噪模型的分层次分析方法。　　在上述对变分PDE图像修复模型分层次分析方法的支撑下,提出了一种高效稳定的基于各向异性扩散的图像修复模型,进一步完善了该分析体系。该模型是一种基于散度算子的图像修复模型,其将图像的修复过程看成是信息从破损区域边缘向其内部的化学浓度扩散过程,其中的扩散方向和相应的扩散系数完全由扩散张量决定。在扩散张量的设计中,通过引入结构张量从而可以获得更相关的图像局部结构几何并以此引导扩散,其中在垂直于相关等照度线方向的扩散系数设计中考虑了图像结构的几何信息——曲率,使得该模型能够满足人类视觉的“连接性准则”。借助扩散张量,该模型还可以进一步引入沿相关等照度线方向的扩散,克服了CDD模型修复速度慢的缺点。模拟图像和真实图像的实验结果表明,该算法在修复中不仅可以保持“连接性准则”和边缘的尖锐性,还可以大幅度提高修复速度。　　在上述对变分PDE图像修复模型分层次分析方法的支撑下,提出了一种曲率驱动的方向性1D Laplaicans图像修复模型,同时又进一步完善了该分析体系。该模型是一种基于迹算子的修复模型,其将图像中破损区域的修复过程看成是两个相互垂直并且加权的1D方向性平滑的耦合。其中的平滑方向由图像的局部相关几何决定,而平滑强度是一个曲率相关的函数,该模型不仅能够保证修复边缘的尖锐性还可以减少修复过程中虚假边缘的产生。　　提出了一种综合自适应阈值与多尺度的总变分(TV)图像修复算法。基于TV模型的图像修复算法具有较好的修复效果,但其对参数的选取较敏感,且运算量较大。本文在分析其参数对去噪行为影响的基础上,提出了一种综合自适应阈值与多尺度的TV图像修复算法,该算法不仅可以提高TV图像修复模型的修复稳定性,还可以进一步压缩运算量,提高修复速度。　　提出了一种快速的基于曲率驱动扩散(CDD)的图像修复模型。CDD模型由于满足“连接性准则”,其对较大破损区域及细小边缘具有良好的修复能力,但是其修复速度较慢。本文在对CDD模型保持“连接性准则”和修复速度分析的基础上提出了一种快速的基于曲率驱动扩散(CDD)的图像修复模型。实验结果表明,该模型在保证与CDD模型相近修复质量的情况下可以大幅度地提高修复速度。　　基于迹算子的模型与传统的对图像进行高斯卷积的图像处理方法间有着密切的联系,即基于迹算子的模型相当于采用空间和时间变化的高斯核对图像进行卷积。在该特性的启发下本文提出了一种快速的非迭代自适应模板图像修复算法。该算法首先通过对待修复点临域像素梯度值进行排序,估计出该点的等照度线方向,从而自适应地确定其修复模板,然后利用快进法(fast marching method)确定修复路径并完成对整个破损区域的修复。实验结果表明该算法对边缘细节及平滑区域均有良好的修复能力,在相近的修复时间内能得到明显优于一般的快速图像修复算法的修复效果。　　应用上述有关图像修复算法,开发了一个实用系统“AD图像增强与修复系统”并取得了软件著作权。该软件目前已在“国家清史图录编纂”工程中投入使用,国内外均未见其他相关实用系统的报导。