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二次型理论是数论的核心问题之一.Fermat,Lagrange,Gauss,Minkowski,Hasse和Siegel等数学家对二次型表示正整数都作出了重要贡献.设rk(n)表示整数n表示为k个整数的平方的个数,即n = x12+x22+…+xk2(k ≥2)其中x1,x2,…,xk是正整数.rk(n)的均值问题是一个经典问题,很多数学家研究了这个问题(见Landau[16]).上世纪 90 年代,Fomenko[6]和 Muller[19,20]应用 Rankin-Selberg 卷积方法得到:对于k≥ 3,∑rk2(n)=cxk-1+O(X(k-1)4k-3/4k-5),n≤x这里c = c(k)>0是个常数.Fomenko在文献[7]中改k= 4时的结果为∑r42(n)= 32ξ(3)x3 + O(x2(logx)3/5),n≤x这里ξ(s)是Riemann ξ函数.设f是定义在环O上的二元Hermitian形式,其中环O是虚二次域K=Q((?))(D<0)的整环,g是对应整数集Z上的四元二次型.文献[5],Elstrodt,Grunewald 和 Mennicke 用R(n = f(c,d))= R(n = g(x1,x2,x3,x4))表示整数n的表法个数.王和劳[28]研究了 f(c,d)= 2|c|2 + |d|2,g(x1,X2,x3,x4)= 2(x12+x1x2+3x22)+x32+x3x4+3x42时,整数n的表法个数R(n)= R(n = 2(x12+ x1x2 + 3x22)+ x32+x3x4-+3x42),的均值估计,得到了∑R2(n)= Ax3+ O（ x2(logx)11/3),n≤x这里A是绝对常数.本文研究了下面两种R(n)表达式中含有自守形式的傅里叶系数的四元二次型表示整数个数的均值估计.(i)当g1(x1,x2,x3,x4)=x12+x22+5(x32+x42)时整数n的表法个数记为R1(n)= R(n = x12+ x22 + 5(x32+x42)).(ii)当g2(x1,x2,x3,x4)=x12+x22+8(x32+x42)时整数n的表法个数记为R2(n)= R(n = x12 + x22+ 8(x32+ x42)).并得到相应的渐近公式.定理1.当x≥2时,有∑R1(n)=C1x2 + O(x(logx)2/3),n≤x其中C1是常数.定理2.当x≥ 2时,有∑R12(n)= C2x3 + O(x2(logx)11/3),n≤x其中c2是常数.定理3.当x≥2时,有∑R=C3x2 + O(xlogx),n≤x其中C3是常数.定理4.当x≥ 2时,有∑R22(n)= C4x3 + O(x2(logx)5/3),n≤x其中C4是常数.