M. Rieffel在研究C*-代数的K理论时,就提出了“拓扑稳定秩”的概念。他引入拓扑稳定秩是作为紧空间上的覆盖维数的非交换类似概念。随着对拓扑稳定秩研究的不断深入,人们对其的理解也越来越深刻,得到了大量的研究成果。Rieffel证明了圆盘代数A(D)的拓扑稳定秩tsr(A(D))=2,1990年,Rieffel的学生Putnam证明了所有的无理旋转C*-代数的拓扑稳定秩都是1；又有,1997年,Dykema, Haagerup和Rordam证明了Cr*(Fn)的拓扑稳定秩是1。2007年,Davidson等人给出了左、右拓扑稳定秩总是不同的一类特殊的套代数,2008年,Davidson和纪友清完全解决了套代数的拓扑稳定秩和一般稳定秩的计算问题。在本文中,我们研究了一类非交换非自伴的Banach代数,它是F(N)的一个典型的闭子代数,并得到了关于它的拓扑稳定秩的结果。同时文中还阐述了度量空间的紧集构成的分形空间中,由α-ψ-压缩映射诱导的αα-ψ-压缩映射的迭代函数系统的不动点定理和极限不唯一,度量不连续的广义度量空间中的紧集构成的分形空间中Banach压缩映射的迭代函数系统的不动点定理,也将在拓扑动力系统中有广泛的应用。