光子晶体是介质单元在空间中周期性复制形成的光学结构。光波在光子晶体中被周期性分布的介质散射，形成Bloch-Floquet波。在光子晶体中同样存在能带结构，且具有光的局域模式。自从上世纪80年代末引入光子晶体概念以来，随着研究的不断深入发展，光子晶体因其在控制光子行为方面的能力，以及未来在全光器件上的巨大潜力，得到了世界各国研究者的广泛关注。以往，人们所关注的是光子晶体的能带结构，以及能带结构衍生的物理特性；光子在光子晶体结构中形成的局域化模式也是关注的重点之一。近些年来，随着研究的深入和实验条件的进步，人们发现，光子晶体的缺陷模式在导波方面具有极大优异性，可以弥补传统光纤波导的不足。用金属材料定制的光子晶体，在长波极限下存在负折射现象，在电介质材料组成的光子晶体结构也发现了类似的负折射现象；负折射现象在光学成像方面具有重大应用前景。准周期结构也进入了研究视点，准周期结构是介于周期和无序系统之间的中间态，人们在光学准晶中发现了许多不同于周期结构的物理特性。这些研究新进展，一方面扩大了光子晶体研究的内涵和外延，也朝着控制光子的未来方向前进。光子晶体研究对其他领域也起了不少推动作用，人们利用光子晶体的概念和方法研究了其他经典波系统包括声波和水表面波的传播特性，发现了许多类似的物理现象。本文的工作是在吸取前人研究成果的基础上，进一步探索光子晶体平板波导中存在的问题，以及光波在这种光子晶体平板中的传播特性；探索新型结构光子晶体的负折射现象，以及优化的成像条件；探索声学准晶系统的成像条件，并且利用相图分析技术探索声波压力场在系统中的分布和传播特性。本文的主要研究工作包括以下几个方面：1．光子晶体平板泄漏模式的理论研究光子晶体平板是一种准三维光子晶体，在光子晶体平板上引入点缺陷，可以制作成Q值很高的点缺陷，以抑制光的自发辐射；引入线缺陷，由于点缺陷之间的耦合，光波可以通过线缺陷进行导波。用光子晶体制作的弯曲波导具有很高的透射率，并且与入射角无关，这是普通光纤波导所欠缺的。光子晶体波导损耗的机制主要分成本征损耗和非本征损耗，本文所关注的主要是结构的本征损耗导致的损耗，也就是本征泄漏模式带来的损耗。解释本征泄露模式的物理特性，这对于消减光子晶体波导的损耗具有重要意义。在本文第三章中，利用散射矩阵方法计算了色散介质和非色散介质构成的两种光子晶体平板的泄漏模式的光学性质，通过使用变角度反射谱方法得到其能带结构，我们发现相对于理想二维光子晶体，漏模的能带呈现蓝移，并且出现了新的能带曲线。我们研究了光子晶体平板中由于垂直平移对称性缺失导致的偏振转换现象，在含有镜面对称性的方向上，偏振转换效率为0，这是由于镜面对称性要求两端的光的偏振也具有镜面对称性，因此偏振转换效率为0。2．二维光子晶体平板负折射成像的理论研究在介电常数和磁导率均为负数的介质中，光线在从正常介质入射到负系数介质中时，折射光线与入射光线位于入射法线同一端。在长波近似下，金属线排成周期结构，等效介电函数可取负数；在SRR结构中，等效磁导率可取负数，这种结构形成的介质材料称为左手材料。左手材料中，光波可以实现完美成像。光子晶体也可以实现负折射现象和平板成像。由于光子晶体的特性受结构的影响很大，因此对结构的仿真对于加深对负折射现象的了解和发现其潜在应用具有重要意义。在本文第四章，我们利用FDTD方法对横截面为椭圆的圆柱子排列成三角晶格的2D光子晶体的负折射和负折射现象进行了数值计算，数值计算的结果表明，这种结构也能实现负折射现象和平板成像，像点的半高宽为0.392，低于衍射极限0.5λ。在第二个case中，我们利用多重散射方法对中空圆柱子排列成正方晶格的2D光子晶体的能带和负折射现象进行数值计算，同样发现了负折射成像现象。3．二维准周期声学晶体的负折射成像和相位矢量图的理论研究准周期晶体结构具有5，8，12，20等旋转对称轴，但是不具有长程平移对称性。准晶是介于周期和无序系统的一种中间态，因此周期系统和无序系统中的物理现象，在准晶中也有类似的现象。Feng等人在对光学准晶的研究中发现，在12重对称的光学准晶中，归一化频率区间11.78GHz～11.9GHz内，光波在入射准晶内部后发生负折射现象。在本文的第五章，我们利用多重散射方法对12重对称性的声学准晶进行了数值计算，在归一化频率区间f=0.54～0.66之间存在一个带隙和一个微带，微带的归一化频率区间为f=0.588～0.63。通过数值模拟，我们发现在归一化频率为f=0.664～0.68区间内，存在负折射现象。我们利用相图技术分析了准周期状态，发现这种状态是介于扩展态和局域态的中间态。