【摘 要】
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守恒的思想认为大自然是周而复始,无限循环的.本质上,守恒源于对称,这也使得人类对于对称和守恒的认识也逐渐从表面深入到内部,对称和守恒也经历了从分立走向综合的漫长发展历程,对
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守恒的思想认为大自然是周而复始,无限循环的.本质上,守恒源于对称,这也使得人类对于对称和守恒的认识也逐渐从表面深入到内部,对称和守恒也经历了从分立走向综合的漫长发展历程,对微分方程的研究守恒律起到重要作用,特别是在微分方程的可积性,线性化,运动常数方面,甚至在求微分方程的解析解和数值解方面.因此,如何构造微分方程的守恒律就成为相当重要的话题.众所周知,Noether定理对研究微分方程的守恒律起着非常重要的作用,它深刻揭示了力学系统的守恒量与其内在的对称性的关系.因此Noether定理就成为构造守恒律的经典方法.然而,对Euler—Lagrange方程的限制严重制约了Noether定理的应用性.如,对于发展方程,以及奇数阶方程等,Noether定理却不能构造出他们的守恒律.为了解决这一难题,自然地基于Noether定理的各种各样的构造方法形成.如:特征法,变分法,直接构造公式,截断Noether方法,以及伴随方程方法等等.
本文第一章介绍了守恒律的基本知识以及文中采用的符号.第二章详细介绍了九种构造守恒律的方法.第三章中利用上一章中介绍的方法分别求解了非线性Schr(o)dinger方程,Fujimoto—Watanabe方程,Maxwellian模型方程,Black—Scholes方程,五阶色散方程等方程的守恒律.利用不同的方法得到了这些方程的新的守恒律,所得的结果为对这些方程进行更深刻的讨论提供了有效信息.最后给出了本文的结论和需要进一步研究的问题.
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