单圆盘上的Hardy空间H/2（D）,Bergman空间La2以及加权Bergman空间La2（dAα）（α>-1）作为经典的解析函数空间,其上的移位算子作为一种形式简单的经典算子已经经历了相当长的研究历程,现已形成了相对来说比较丰富完整的理论体系.不变子空间问题与函数空间上的算子理论紧密相联,而不变子空间问题的核心又可归结为对Bergman空间上移位算子不变子空间的研究.所以研究La2上移位算子的不变子空间是一个很有意义而且又很复杂的问题.研究不变子空间的主要方式就是将不变子空间进行分类,或者将所有的不变子空间通过一些方法精确的描述出来,例如函数论的方法.著名的Beurling定理表明H2（D）上移位算子的每个不变子空间M都具有形式M=ηH2（D）,其中η为内函数.这样就将H2（D）上移位算子的所有不变子空间用函数论的方法精确的刻画出来.但La2上移位算子的不变子空间要复杂的多,至今没有任何方法将其所有的不变子空间刻画清楚.这方面最重要的工作当属Beurling所提出的Beurling型定理的概念以及证明了La2上Beurling型定理成立.Beurling型定理是不变子空间的一个重要性质,通过这个性质可以很好的将不变子空间进行分类,Beurling型定理因此成为有关算子的不变子空间问题的一个重要研究课题.H2（D）在多变量情形下的一个自然推广就是多圆盘Hardy空间H2（Dn）,而H2（D）上移位算子的不变子空间就自然推广到H2（Dn）上的子模.因此研究H2（Dn）上的子模也是一个很自然而且很有意义的课题.Ahern和Clark在文献[1]中已经证明H2（Dn）中所有有限余维的子模都不具有形式ηH2（Dn）,但有限余维的子模是无穷多个的.为了将有限余维的子模刻画清楚,Ahern和Clark给出了定理1.39,此定理表明有限余维子模的描述至少在概念上是一个代数问题.我们也第一次看到了代数和分析之间的相互作用.但这种代数描述还是很抽象的,并且目前对H2（Dn）中无限余维数的子模认识还很少.我们研究H2（Dn）的子模往往是从简单而且具体的子模开始,希望能够将其刻画清晰,并希望得到一般的技巧.在本文我们考虑双圆盘Hardy空间HH2（D2）上的Nψ,φ型商模,其中ψ（z）,φ（w）为非常值内函数并且由（ψ（z）-φ（w））2生成的子模Mψ,φ=[（ψ（z）-φ（w））2]为对应的子模.此外,Shimorin已经证明任给-1<α≤1,La2（dAα）上的Beurling型定理成立.Hedenmalm和朱证明了任给α>4,都存在La2（dAα）上的某些H型子模使得移位算子在其上不具有游荡子空间性质,因此Beurling型定理在La2（dAα）（α 4）上不成立.Shimorin曾经猜测L（dAα）上的Beurling型定理成立的临界点是α=1,但对于1<α<4的情形仍然是公开的.本文我们考虑α=2的情形,并将La2（dA2）上的移位算子记为B2.我们考虑Nψ,φ型商模以及La2（dA2）的出发点是基于下述事实:（i）当ψ（z）=z,φ（w）=w时,对应的Nψ,φ型商模记为N0.设H01=[z-w]（?）[（z-w）2],则可以证明H01是N0上压缩算子Sz的不变子空间,并且可以证明Sz:H01→H01与B2 La2（dA2）→La2（dA2）酉等价.从而我们考虑利用H2（D2）上移位算子的等距解析性质来研究La2（dA2）上的Beurling型定理,这个事实也激起我们研究Nψ,φ型商模的兴趣;（ii）在文献[5]中,Arveson猜测单位球上d-移位模的齐次子模是本质正规的.Douglas在Bergman商模情形下提出了一个精确的猜测[19].最近在文献[79,80]中,王和赵通过对齐次商模的本质正规性给出一个完整的判据,解决了Arveson猜想的多圆盘版本.这些事实激起了我们对Nψ,φ型商模本质正规性研究的浓厚兴趣.显然,如果内函数ψ（z）,φ（w）取一些适当的形式,Nψ,φ就成为相应的齐次商模.另一方面,这方面类似的研究出现在文献[13,21,78]中.文献[21]证明了一些特殊类型的Hardy商模,如N0和[zi-wj]（i,j ∈ Z+）是本质正规的.在本文中,如果ψ（z）=z,我们将Mψ,φ和Nψ,φ分别简记为Mφ和φ.我们首先考虑φ（w）∈H∞（w）的情形,研究Nφ的一些基本性质,压缩算子Sz和Sw的谱性质,赋值算子L（0）|Nφ的紧性和Sz的本质正规性.我们还研究了压缩算子Sz和Sw在N0上的可约性.如果ψ（z）,φ（w）是非常值内函数,我们完全刻画了Nψ,φ的本质正规性,并且我们还研究了赋值算子L（0）|Nφ和R（0）|Nφ的紧性,Sz在Nφ上的本质谱,压缩算子Sz和Sw在Nφ上的本质正规性.我们并没有解决La2（2）上的Beurling型定理,但证明了B2在La2（dA2）上的所有Ha型子模上都具有游荡子空间性质（这与α>4的情形不同）.我们的证明过程呈现推论7.1的规律,这鼓励我们研究移位算子在Ha1,a2,an型子模上的游荡子空间性质.我们希望推论7.1反应的规律是所有Ha1,a2,an型子模的普遍现象.令H2（γ）为正项序列γ={γnm}n,m≥0生成的双圆盘上的Hilbert空间.在本文中,我们还证明了如果γ={γnm}n,m≥0满足一系列不等式,H2（γ）上的移位算子满足Beurling型定理.作为这个结论的推论,我们将其应用到双圆盘上一类经典解析再可生Hilbert空间上.最后,我们研究了双圆盘Mφ型子模上的边缘算子的游荡子空间性质,并得到了一些初步结果.本文的章节结构如下:第一章,简要介绍了函数空间算子论的背景,预备知识及我们所关注问题的发展现状和研究思路.第二章,我们研究双圆盘上的Nφ型商模以及其上几类算子的一些性质,其中φ（w）∈H∞（w）.第三章,我们研究双圆盘上的Nψ,φ型商模以及其上几类算子的一些性质,其中ψ（z）,φ（w）为非常值内函数.第四章,我们研究由一类正项序列生成Hilbert空间上的Beurling型定理.第五章,我们研究加权Bergman空间La2（dA2）上的移位算子在一类不变子空间上的游荡子空间性质.第六章,我们研究双圆盘Mψ型子模上边缘算子的游荡子空间性质.第七章,结论与展望.