【摘 要】
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非线性椭圆型偏微分方程和方程组广泛应用于物理学、几何学、生物学等学科,并且在工业生产中发挥着重要的作用。本文探讨了含Sobolev临界指数项的分数阶p-q型椭圆边值问题和含Hardy-Sobolev临界指数项的分数阶p-q型椭圆耦合系统,前者讨论了边值问题非平凡解的存在性与多重性,后者讨论了耦合系统非平凡解的存在性。文章划分为5个章节:第一章,简单的介绍了本文的研究背景和研究现状。第二章对本文需要
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非线性椭圆型偏微分方程和方程组广泛应用于物理学、几何学、生物学等学科,并且在工业生产中发挥着重要的作用。本文探讨了含Sobolev临界指数项的分数阶p-q型椭圆边值问题和含Hardy-Sobolev临界指数项的分数阶p-q型椭圆耦合系统,前者讨论了边值问题非平凡解的存在性与多重性,后者讨论了耦合系统非平凡解的存在性。文章划分为5个章节:第一章,简单的介绍了本文的研究背景和研究现状。第二章对本文需要用到的一些符号、定义以及预备引理作了说明。第三章研究了一类分数阶p-q型临界椭圆边值问题,讨论该问题的困难在于:第一,该问题带Sobolev临界指数,这使得对应的能量泛函失去紧性;第二,由于p-q型方程没有p-Laplace方程的齐次性,所以不能使用传统的变分方法和分析技巧。本章通过应用Euler恒等式、估计式、山路引理和Lusternik-Schnirelmann指标理论克服了上述困难,得到了该问题非平凡解的存在性和多重性。第四章讨论了一类分数阶p-q型临界椭圆耦合系统。由于含Hardy-Sobolev临界指数,使得对应的能量泛函失去紧性。本章通过应用Nehari流形和纤维映射,得到了该系统非平凡解的存在性。第五章总结了全文,提出了现阶段研究的局限性,并对后续的研究作出展望。
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