边界元方法求解位势问题有效而简单,但通常需要数值计算奇异积分甚至超强奇异积分。传统边界元方法以真实边界上的密度函数或者矩密度函数为未知量,虚边界元方法以虚拟边界上的虚拟密度函数或虚拟矩密度函数为未知量。采用虚边界元法的基本思想是:通过在所研究的区域之外的延拓区域中选择一个虚拟的边界来建立起一个虚拟位势和相应的边界积分方程,根据原问题在实边界上已知的边界条件可确定出在虚边界上分布的虚拟密度,以此利用虚边界上的位势积分的离散形式来计算原区域上的解。在数值计算时,是对虚边界进行离散,由于场点和源点在不同的边界上,从而也避免了传统边界元中关于奇异与超强奇异积分的处理。本文对基于单层位势和混合位势,采用传统边界元方法和虚边界元方法求解位势问题所得到的位势函数及密度函数、矩密度函数进行比较。通过分析虚边界形状,虚、实边界关系对数值结果的影响,验证了本文所采用的虚边界元方法和传统边界元方法求解结果的一致性。本文采用的基于混合位势的虚边界元方法不同于采用基于单层位势[58]和双层位势[38]的虚边界元方法。为便于比较采用基于混合位势的虚边界元方法和基于同样的混合位势的传统边界元方法的计算结果,本文编制了用传统边界元方法基于混合位势求解Laplace方程的混合边值问题的计算程序,这要涉及到超强奇异积分的数值计算,我们采用了把带奇异性的单元的长度按幂级数缩减的剖分的方法来处理超强奇异积分的计算。所有的计算程序是利用Fortran90程序语言来编写的。通过数值实验来验证结论。