多处理机系统的互连网络拓扑通常以图为数学模型，因此网络拓扑的性能可以通过图的性质和参数来度量.在设计和选择多处理机系统的互连网络拓扑时，我们要考虑的一个问题是系统的可靠性(容错性).边连通度A(G)是度量网络可靠性的一个重要参数.通常，边连通度A(G)越大，网络越可靠.但是，这个参数有一个明显的缺陷：它假定系统的任何部分都可能同时损坏，这在实际应用中几乎不可能发生.为弥补这个缺陷，Mbrega和Fiol提出了&限制边连通度的概念.　　对于互连网络来说，有一类重要的问题，是在某一个网络上模拟另外一个网络，这个问题被称为网络嵌入问题.图的嵌入是把客图映射到主图.许多应用，如建筑仿真，处理器分配，和超大规模集成电路芯片设计，可以建模为图的嵌入.　　本文主要研究图的k限制边连通性和Hamiltonian性.本文共分五章.第一章首先给出本文将用到的图论方面的术语和记号，然后综述图的&限制边连通性和Hamiltonian性的应用背景和研究进展，最后概述了本文的研究内容和获得的主要结论.　　作为边连通度的推广，k限制边连通度是度量图的连通性的一个重要参数.当k=2时，2限制边连通度通常被称为限制边连通度.2012年, Holtkamp等研究了非极大限制边连通无3-圈图的λ2-碎片的基数的下界和非极大k限制边连通无3-团图的λk-碎片的基数的下界.进一步，给出了极大限制边连通无3-圈图和极大k限制边连通无3-团图的充分条件.第二章主要研究无(p+1)-团图和围长为g的图的极大k限制边连通性.我们首先给出了一个非极大k限制边连通且无(p+1)-团图的λk-碎片的基数的下界.其次，我们给出了一个围长为＃的非极大&限制边连通图的Ak-碎片的基数的下界.最后，一些极大&限制边连通图的充分条件被给出.　　近年来，图的极大限制边连通性和极大3限制边连通性得到了广泛的研究.但是关于更一般的&限制边连通性研究略少.这需要被推广到更一般的情形.2004年，Hell-wig和Volkmann证明了：如果λ-连通图G中所有不相邻顶点u,v都满足|N(u)∩N(v)|≥2,且G中每个三角形T中都存在一点v使得d(v)≥[v(G)/2]+1，那么G是极大限制边连通的.第三章主要研究了图的极大k限制边连通性和超级k限制边连通性.我们首先给出了一个图是极大k限制边连通的充分条件，这个结果推广了上面的结论.其次，我们证明了如果G中任意一对不相邻顶点都有d(u)+ d(v)≥v(G)+2k-4且G不属于一类特殊图，那么G是极大k限制边连通的.最后，我们给出了一个图是超级k限制边连通的度条件.　　k等周边连通度是一个与k限制边连通度密切相关的概念.它也是度量网络可靠性的一个重要的参数.2009年，Wang等人证明了一个阶至少为2k的图G,如果G中任意一对不相邻顶点u, v都满足|N(u)∩N(v)|≥2k-1,那么G是极大k等周边连通的.第四章主要研究极大k等周边连通图的邻域交条件.我们首先给出了一个在k等周边连通图中，由γk-碎片生成的子图中存在(k-1)-路的充分条件.其次，我们给出了极大等周边图的一个邻域交条件,这个是上面结果的一个改进.最后研究了直径为2的图的极大k等周边连通性.　　一个图G中的Hamiltonian圈是指经过G中每个顶点恰好一次的圈.Hamiltonian圈的嵌入是图论中的一个热点问题.第五章主要研究直径为2的图中的Hamiltonian圈.首先，我们给出了相关的概念和结果.然后，我们证明了如果对于阶至少是3的图G中任意一对不相邻顶点都有|N(u)∩N(v)|≥[v/2]-1,且G不属于一类特殊图，那么G是一个Hamiltonian图.