近年来，由于偏微分方程在生产实际中应用的广泛性，人们对其的研究日渐深入，并取得了很多重要的成果，使得这方面的理论目趋完善。本人在前人工作的基础上，主要利用山路引理和集中紧性原理，通过变分方法，证明了某些特殊的椭圆型偏微分方程非平凡解的存在性，在某种程度上推广了前人的结果。首先我们介绍了p-Laplace方程的特征值问题，并着重介绍了第一特征值的几个重要的性质，包括特征值的孤立性、简单性以及封闭性，这些特性在后来证明解的存在性时都得到了应用，接着证明了一类p-Laplace方程的Dirichlet问题-△pu(x)=f(x，u) x∈Ω； u=0 x∈σΩ正解的存在性，其中-△pu(x)=-div(|▽u|p-2▽u)为p-Laplace算子。我们减弱了解存在的条件，即去掉了常用的(AR)条件，并克服了在失去此条件给证明序列有界所带来的困难，并利用山路引理证明了上述问题正解的存在性。 其次介绍了在失去紧性时，我们利用集中紧性原理证明了问题-△pu-μ|u|p-2u/|x|p=|u|p-2u+λ(x，u) u∈W1，p0(Ω)非平凡解的存在性，当f(x，u)=|u|p-2u时，文[6]中作者证明了上述问题多解的存在性，我们发现当此扰动项次数更高(低于临界指数)时，问题也存在对应于某些λ的非零弱解。 最后主要利用变分方法，证明了在算子的一般形式下，椭圆系统非平凡解的存在性，此类算子在一定的条件下，可以是Laplace算子、p-Laplace算子以及曲率算子，从而得到了较为广泛的结论。