关于有限p-群的自同构群的阶的最佳下界估计，有一个著名的LA-猜想，即阶大于p2的有限非循环p-群的阶都是其自同构群的阶的因子.关于这个猜想的研究至少可以追溯到1955年，至今仍未得到解决.本文在p5阶群Φ7(2111)a=(α，α1，α2，α3，β｜[αi，α]=αi+1，[α1，β]=α3=αp，α1p=αi+1p=βp=1(p>3，i=1，2))的基础上构造出了一类新的LA-群.　　 在有限群自同构群的研究中，有一个Miller问题，即求自同构群方程B=Aut(X)的解.此方程求解非常困难.班桂宁证明了当p为奇素数时，上述方程有解的最小阶交换p-群为p12阶群[54].本文进一步证明此p12阶交换p-群为初等交换群.　　 本文有以下三章内容：　　 第1章简述LA-猜想及自同构群方程B=Aut(X)求解问题的研究历史与现状，并简要介绍本文的主要研究工作.　　 第2章用扩张理论和自由群理论对上述p5阶群进行推广，得到新群G=(a，a1，a2，a3，b｜[a1，a]=a2[a2，a]=a3[a1，b]=apn=a38pt，a1pm1=a2pm2=a3pm3=bpm=1，m3≤m2≤min｛m1，n｝，m3≤m+t，(s，p)=1，0≤t≤m3)，然后给出群G的若干性质，并用新的方法证明群G是LA-群.　　 第3章用排除法证明若Aut(G)是p12阶交换群，则它一定是初等交换群.这里，p为奇素数.