本文研究的课题属于数值逼近领域.考虑的问题包括：多元样条函数空间中的最佳逼近,三角域上的Haar函数和Walsh函数,n维单纯形上的数值积分以及椭圆微分方程的稀疏解法.本文共分为五章,具体内容安排如下：第一章,介绍本文选题的研究背景以及国内外研究概况.第二章,研究多元样条函数空间中的最佳逼近问题,包括最佳逼近样条的唯一性和三类三角剖分上S10(△)的关键点组的几何特征.一般来讲,多元函数空间中的最佳逼近不是唯一的,但借助最佳逼近在多元函数空间的关键点组上函数值的不变性,可以得到最佳逼近函数是唯一的一个充分条件.多元函数空间的关键点组的几何特征可以作为判断一函数是否为最佳逼近函数的依据.基于适定结点组的概念,我们从几何上刻画了三类三角剖分上S10(△)的关键点组的特征.第三章,考虑三角域上的Haar函数和Walsh函数及其性质.证明了任意一个连续函数的Haar-Fourier级数是一致收敛的.基于Walsh函数和Haar函数之间的关系,我们得到任意一个连续函数的Walsh-Fourier级数是部分收敛的.此外,我们还指出了Paley序下的Walsh函数和Hadamard序下的Walsh函数之间的对应关系.第四章,构造了n维单纯形上一个4次代数精度且具有仿射不变性的求积公式.该求积公式的结点数仅为(n+2)(n+3)/2,而且其大部分结点位于单纯形的边界上.除此以外,该求积公式是非常稳定的,因为它的权函数大部分都是正的.第五章,在椭圆微分方程的解具有稀疏性时,我们提出了一种数值求解该椭圆微分方程的快速、精确算法.该算法将椭圆微分方程问题转化为线性优化问题来求解,其背后有压缩感知理论的支持.