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本论文探讨了紧致Riemann对称空间的若干整体性质,并给出了其应用.它由两部分构成.在第一部分(即第二章和第三章)里,我们以Lie群Lie代数理论为工具,探求任一紧致不可约Riemann对称空间的切割迹与其所对应的限制根系的Cartan多面体之间的关系,得到定理1.[61][62]设(u,θ,＜,＞)为一不可约紧正交对称Lie代数,(～M)=(～U)/(～K)为其所对应的紧致单连通Riemann对称空间,M=(～M)/Γ为(～M)的一个Clifford-Klein形式,其中Γ为Z(～M)((～K))的子群.则(ζ)(o)=Ad(K)(π√-1PΓ),C(o)=Ad(K)(π√-1PΓ).
这里Z～(M)(～K)表示(～M)上在(～K)的左作用下的不动点构成的集合,其上有自然的群结构.Z(～M)(～K)的所有子群,与(～M)的所有Clifford-Klein形式存在一一对应的关系;因此所有紧致不可约Riemann对称空间M都可以写成～(M)/Γ的形式.群Γ所对应的多面体PΓ,PΓ定义为PΓ={x∈△:(x,ei)≤1/2(ei,ei)对任意满足～Exp(π√-1ei)∈Γ的i成立);PΓ={z∈PΓ:(x,ψ)=1或者存在一个满足～Exp(π√-1ej)∈Γ的j,使得(x,ej)=1/2(ej,ej)}.其中△为Cartan多面体,e1,,ei为△的顶点,～Exp表示～M:上的指数映照.
在此基础上我们计算了每一类型的紧致不可约Riemann对称空间的单一半径和直径,并把结果列在表3.4.1和表3.4.2中.特别地,我们有定理2.[61]设M为单连通紧致不可约Riemann耐称空间,k为M的截面曲率上界,则M的单一半径为πκ-1/2.
在第二部分(第四章和第五章),我们的研究对象是一类特殊的紧致对称空间:(实)Grassmann流形。J.Jost和忻元龙[26]找到了Gn,m上的极大测地凸区域BJX(P0);我们将构造BJX(P0)上的凸函数v和u,并对它们的Hessian给出了估计:定理3.[60]v,u是BJX(P0)(C)U(C)Gn,m上的凸函数.在{P∈U:v(P)≤2}上,我们有估计Hess(v)≥v(2-v)g+(v-1/pv(v2/P-1+p+1/pv)dv⊙dv;在{P∈U:u(P)≤2)上,我们有估计Hess(u)≥(2-1/2u2)g+(3+1/4p2)u+4p/2(u+p)2du⊙du.其中p=min(n,m).
由此我们可以对欧氏空间的极小子流形(维数和余维数任意)给出曲率估计.利用这些估计,可以得到一系列几何结论,包括下列的Bernstein型定理:定理4.[59]设M为Rn+m的n的维完备极小子流形,n≤6且m≥2.若M的Gauss像包含在Gn,m中一个半径为√2/4π的测地球中,则M必为仿射线性子空间.定理5.[60]设M={(z,f(x)):x∈Rn}为由m个函数fα(x1,...,xn)给出的n维极小图,m≥2,n≤4.若△f=[det(δij+Σα(6)fα/(6)xi(6)fα/(6)xi)]1/2＜2则fα必为仿射线性函数,从而M必为仿射线性子空间.定理6.[59]设M为Rn+m的n维完备极小子流形,m≥2.若M的Gauss像包含在Gn,m中以P0为中心,半径为√2/4π的测地球中,并且(√2/4π-ρo,γ)-1的增长可以控制:(√2/4π-ρo,γ)-1=o(R4/3).其中ρ表示Gn,m上从P0出发的距离函数,R是M上从任一点出发的欧氏距离.则M必为仿射线性子空间.定理7.[60]设M={(x,f(x)):x∈Rn)为由m个函数fα(x1,...,xn)给出的n维极小图,m≥2.若△f=[det(δij+Σ(6)fα/(6)xi(6)fα/(6)xj)]1/2＜2,且(2-△f)-1=o(R4/3),其R2=|x|2+|f|2.则fα必为仿射线性函数,从而M必为仿射线性子空间.