有限体积元法是求解偏微分方程数值解的重要方法,对求解区域进行原始剖分和对偶剖分,并在两种剖分上分别定义试探函数空间和检验函数空间,通过变分方程定义求解格式,具有计算量少,易于处理复杂区域和边界条件,保持局部守恒性等优点,在计算流体、油藏模拟等领域有广泛应用.本文研究如下三个问题:一.以二维对流扩散-对流占优问题为模型,研究了矩形网格上的迎风有限体积元法的稳定性和收敛性.取试探空间为相应于矩形网格上的双线性有限元空间,检验空间为标准的中心对偶剖分上的分片常数函数空间.对流项的处理使用迎风技术,进而定义了迎风有限体积法.首先证明了迎风有限体积元法的稳定性和H~1误差估计;然后,在矩形网格长宽比满足一定限制之下,证明了极大值原理并获得最大模误差估计;最后,通过数值实验验证了方法求解对流占优模型的有效性.二.以二维Poisson方程为模型,研究了三角形网格上Hermite型三次元有限体积元法的最佳阶L~2误差估计.试探函数空间为三角形网格上Hermite型三次有限元空间,检验函数空间中函数包含两种类型,分别为围绕三角形单元顶点处的对偶单元上的分片线性函数和围绕形心点处对偶单元上的分片常数函数.其L~2误差估计的困难在于分片常数检验函数逼近能力弱于分片线性检验函数,这导致很早就被构造的Hermite型三次元有限体积格式的L~2误差估计一直没有证明.为此我们构造了一个新的对偶剖分,使得围绕形心点处的对偶单元上满足一个正交条件,借助于这个正交条件完成了最优L~2误差估计.三.针对带有反应项的各向异性扩散方程,研究任意四边形和三角形网格上保持离散极值原理的有限体积元格式.借鉴代数流修正技术,有限体积元法的刚度矩阵被分解成扩散与反扩散两部分.通过引入恰当的限制器,保证了反扩散部分不会再产生新的极值,并最终得到一个保持离散极值原理的非线性有限体积元格式.数值例子表明,该格式在扭曲网格上对具有光滑解的各向异性扩散问题能够保持与原来格式相近的精度,同时,该格式在扭曲网格上满足离散极值原理.