分数阶微分算子的一些特性如非局部性使之成为描述各种材料和物理过程中的记忆和遗传性质的重要工具。特别是近年来,分数阶微分方程在基础科学和工程领域得到了广泛的应用。另一方面,这一特性又使得理论和数值研究面临新的困难:一般情况下分数阶微分方程的解析解很难被求解出,即使某些方程的解析解可以求出,大部分的解析解也都含有难以计算的特殊函数和无穷级数。因此,越来越多的学者关注如何设计高效的数值算法来求解分数阶微分方程。本文旨在研究分数阶微分方程的数值解法,具体内容如下:第一章,介绍与本文研究密切相关的背景,陈述本文的研究动机和主要内容,最后给出本文所需的部分预备知识。第二章,构造和分析了一个求解分数阶常微分方程的亏损校正方法。这是一个迭代型算法,包含初始预估步和校正步。初始预估步用来提供一个预估解,这个解由一个已被广为使用的(2-α 阶有限差分格式得到,这里α是分数阶导数的阶数。校正步用来对预估解进行校正,这里用到误差函数的多项式插值重构以及校正量的计算。本章考虑了两种网格:等距网格和非等距网格,推导了基于这两种网格的有限差分格式的误差估计。数值试验结果表明当采用等距节点网格且节点数不大时,亏损校正法的收敛阶为(τ^{（2-α）（p+1）}),这里τ是最大时间步长,p是校正步数。节点数增大时,由于著名的Runge震荡,基于等距网格的亏损校正方法的精度降低直至出现数值不稳定性。采用Gauss网格可避免Runge震荡,因此算法更为稳定,但Gauss网格的非等距性导致算法的收敛阶降为τ^2-α+p。为克服上述两个缺陷,我们最后设计和测试了一个基于分段多项式插值的亏损校正方法,数值试验显示该方法可有效改进精度并提高算法的稳定性。第三章,考虑[Sun and Wu,Appl.Numer.Math.,56（2）,2006]和[Lin and Xu,J.Comput.Phys.,225（2）,2007]中求解时间分数阶扩散方程的一个时间方向差分法/空间方向谱方法,改进了误差估计。新的误差估计将原有出现在空间误差估计子前的“坏”因子△t^-α消除,这里△t是时间步长,α是分数阶导数的阶数。我们通过一系列的数值试验验证了新的误差估计的正确性。第四章,考虑时间分数阶扩散方程的一个高阶稳定算法,该算法是通过在时间方向上采用Cao等人和Gao等人提出的对Caputo分数阶导数算子的一个高阶有限差分逼近,导出对时间分数阶扩散方程的一个时间推进格式,进而在空间方向上采用的Legendre collocation谱方法所构造出来的。本章的主要贡献是提出了一个新的证明技巧来严格证明半离散时间推进格式的稳定性和收敛性,证明了时间方向上具有（3-α）阶收敛精度。我们还利用已有的关于空间谱方法的证明技巧,给出了空间方向的误差估计,证明了空间逼近具有谱收敛精度。最后我们利用算例对算法进行了数值实验,验证了理论结果的正确性。