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现代数论的发展动力来源于Langlands纲领.根据此纲领,每个L-函数都可以表示为GL<,m>(m≥1)上自守表示的L-函数的乘积.因此,对于自守L-函数解析性质的研究具有很重要的理论意义.
本文中,我们研究Hecke同余群新形式所对应L-函数的非零区域.令q是一无平方因子的正整数,k是任一偶自然数.定义f是Hecke同余群Γ<,0>(q)上权为k的新形式,是它在尖点∞处正规化的的Fourier变换.那么,是次数为2前导子为q的L-函数.广义黎曼猜想预测L(s,f)在临界带形内的所有非平凡零点都位于R<,S>=1/2这条临界线上。
我们首先在一般意义上描述这个方法.令表示L(s,f)上的非平凡零点,那么广义黎曼猜想预测.为了观察这些非平凡零点.我们定义其中R>1是一个参变量,φ(x)是在(-v,v)内紧支的Schwarz类函数.定义其中h(x)是支集在[0,∞)内的光滑函数,K是一个参变量.
在我们的讨论中,我们取我们的主要结果如下:
定理1.在猜想*下,进一步假设.f∈H<,к>(q)对应的L(s,f)的所有零点都位于临界线上,那么L(s,f)≠0,for s>max(11/12,3-δ/3)+ε其中к是与ε.相关的充分大的数.
我们的结果推广了H.Iwaniec,W.Luo和P.Sarnak在[1]中的结果.他们首次注意到了这样一个事实:由算术级数上的素变量指数和估计可以得到模群SL<,2>(Z)上尖点形式对应的L-函数的非零区域.而且他们得到这个非零区域是s>10/11+ε.很自然的,我们可以更一般地对Hecke同余群上新形式对应的L-函数来考虑这个问题.不幸地是,由于对关键项A(K,φ)的估计太粗略,我们的结果比[1]中的要差.在我们的证明中,我们发现由(0.1)定义的测试函数满足φ(x)x<1,其中φ(x)是φ(x)的Fourier变换.利用这个事实, [1]中的证明可以适当简化.