本文内容共分为两部分,一部分是丢番图方程的求解,另一部分是指数和均值计算问题的研究.指数和问题起源于著名的Waring问题与哥德巴赫猜想,计算与估计指数和上界的方法称为指数和方法,指数和方法的引入和改进极大地促进了近代解析数论、几何数论与加法数论(堆垒数论)的发展.对指数和的上界估计及其均值问题的研究,是解析数论中的经典内容之一,其研究工作具有重要的理论意义和应用价值.与指数和相应的是特征和,它在Dirichlet L-函数理论、与算术数列有关的数论问题以及最小正剩余、最小正原根等其它著名数论问题中有着十分重要的作用.指数和、特征和以及它们的各种推广和式的计算与估计不仅在数论的研究中占有重要的地位,而且在密码学中也有着非常重要的应用.对指数和与特征和的研究既具有理论意义又具有实用价值,在这一领域取得任何实质性进展都会对数论及密码学的发展起到重大的推动作用.许多著名的学者如华罗庚、A.Weil、Gauss、T.Cochrane等对指数和的上界估计做出了重要的贡献.单个指数和的取值是很不规则的,但其均值却表现出良好的分布性质.近几年,国内外许多数论学者对指数和及其各种推广和式的高次均值的计算问题进行了深入的研究,如完整三角和、二项指数和、经典Gauss和、二次Gauss和、特征和、kloosterman和等和式,并获得了颇多的研究成果.这些已有的成果中,在求指数和均值的过程中加入了各种各样的限制性条件,这使得结果的应用受到了很大程度的限制.本文将深入分析和讨论在更为一般的条件下各类指数和及其推广和式高次均值的计算问题,推广或改进已有的研究成果.具体来说,有以下几方面的结果：1.研究了二项指数和四次混合均值与同余方程组解的个数的内在联系,在k≡5(mod(p-1))时给出了上述和式的精确计算公式,拓展了原有的研究成果(k=-1,2,3(mod p).)2.研究了带Dirichlet特征的二项指数和的四次均值与的计算问题,给出了精确的计算公式,拓展了原有的研究结果.3.研究了广义二次Gauss和六次均值在模数q为任意square-full数时的计算问题,给出了精确的计算公式,推广了原有的研究成果.4.研究了广义k次Gauss和2l次均值的计算问题,并在条件(n,q)=(k,ψ(q))=1下,给出了精确的计算公式,丰富了原有的研究成果.5.研究了对于任意整数k,q,广义Kloosterman和四次混合均值的计算公式,推广了原有的研究结果.另外,本文还研究了三项指数和四次均值的计算问题,关于三项指数和的各类算术性质,国内外相关的研究十分少见.本文分析和讨论了三项指数和四次混合均值的计算问题,揭示了上述和式与同余方程组解的组数的本质联系.并在q为素数,k=2t等条件下,给出了几个精确的封闭公式.关于丢番图方程这一部分,本文介绍了的求解丢番图方程的几种常用方法,针对一类丢番图方程的问题,给出了新的研究成果,即利用A.Baker方法和LLL算法,完整的解决了一类含参联立Pell方程的整数解问题.