关于一个五阶浅水波方程的适定性

来源 :中国工程物理研究院 | 被引量 : 2次 | 上传用户:gbe3919
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众所周知,随着非线性科学的发展,出现了大量非线性发展方程,在不同的物理背景下起着重要的作用,浅水波方程是偏微分方程中一类很重要的方程,其形式虽然简单,但包含很多有价值的性质。一直以来,不同领域的学者对它进行着广泛的研究。对于适定性的研究尤为重要,适定性问题来自于哈达玛所给出的定义,他认为物理现象中的数学模型应该具备下述性质:1、存在着解;2、解是唯一的;3、解连续地取决于初值。如果某一个问题是适定的,它就有机会在使用了稳定算法的电脑上求得解。如果问题是不适定的,就需要为数值处理重新以公式表示。在这样的要求之下,关于五阶浅水波方程的解的存在性和稳定性已有了一些结果,其中由田立新教授等人在文[28]中引入的带有特殊非线性项的五阶浅水波方程,帮助我们理解非线性色散和非线性对流在波传导中的作用和影响,他们建立了初值在Hs中s≥-11/16的柯西问题的局部适定性,本论文主要致力于研究这个五阶浅水波方程的低正则性。在第一章介绍Bourgain空间技术、Tao的[k;Z]-乘子方法等现代调和分析技术研究色散方程的基本理论,其中包括Bourgain空间的定义及它的一些基本性质和[k;Z]-乘子的定义和性质。在第二章中应用Tao的[k;Z]-乘子方法得到一个新的双线性估计,结合Bourgain空间技术,就可以在Hs中将局部适定性结果由s≥-11/16改进至s>-5/4;接下来利用Bejenaru和Tao在文[2]中关于处理不适定性的普遍原理得到在s<-5/4;的不适定性结论。  为了将局部适定性结果推广至端点s=-5/4情形,从而得到sharp的局部适定性结果。在第三章中使用新型的Bourgain空间(F)s空间,在这种基于Littlewood-Paley分解的新型的Bourgain空间(F)s空间中,得到了理想的双线性估计,通过标准的不动点定理建立了端点情形的局部适定性结果.
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